泰勒級數逼近互動模擬實驗

泰勒多項式完全是由函數在某一個點上的表現造出來的：它在那裏的取值、在那裏的斜率、在那裏的彎曲程度，依此類推。每一階導數確定一個新的係數，而每一個新項都會把多項式往外掰一點，好讓它與曲線貼合得更遠。由此得出兩件事。逼近總是在中心處最好，越往外走越差，所以有用的問題不是它管不管用，而是它管用的那片區域有多寬。而對某些函數來説，那片區域有一道硬邊界：ln(1 + x) 在 x = −1 處斷裂，1/(1 − x) 在 x = 1 處發散，因此以 a 為中心的級數只在離 a 這麼遠的範圍內收斂。在收斂半徑以內，新增的項越來越小，多項式逐漸貼合；在半徑以外，它們反而越來越大，提高次數只會讓答案更差而不是更好。學生可以改變次數及展開中心，並比較結果有何變化。可用於與高中一起進行數學探究，投影演示或讓學生各自使用裝置均可。

課程標準： Common Core CCSS.MATH.CONTENT.HSA.SSE.B.4, CCSS.MATH.CONTENT.HSF.BF.A.1

• 從 0 次開始，一次加一項，看每一次貼合又向外延伸了多遠
• 換成 1/(1 − x)，找出再加項也無濟於事的那一點，然後與半徑讀數對照
• 在 ln(1 + x) 上把中心往 x = −1 拖，看着半徑和那條陰影帶一起縮小
• 先設一個寬鬆的容差，再設一個嚴格的，看看那條帶子裏有多少其實取決於你有多挑剔
• 在 12 次時比較 sin x 與 1/(1 − x)：一個在整個螢幕上都準確，另一個只在中間附近準確

1. 1預測改變次數會如何影響多項式給出的值，然後驗證這個預測。
2. 2運用即時計算和視覺圖像提供的證據來解釋結果。

教師常問的問題