洛倫茨吸引子互動模擬實驗

愛德華·洛倫茨在 1963 年把一個天氣模型削到只剩骨架時，找到了這三個方程。其中沒有任何隨機成分，也沒有任何近似：給出同樣的三個初始數兩次，你就會得到同樣的軌跡兩次，永遠如此。然而，只要把其中一個數的小數點後第八位改動一下，大約二十個時間單位之後，兩條軌跡就分別落在蝴蝶的兩隻翅膀上了。這就是對初始條件的敏感依賴，它是方程本身的性質，而不是電腦的缺陷。它也有一個「開關」：兩隻翅膀的中心位於 ±根號(β(ρ − 1))，並且在 ρ 超過 σ(σ + β + 3)/(σ − β − 1) 之前都是穩定的——按照洛倫茨自己用的那組數，這個閾值是 470/19，約 24.74。低於它，兩條孿生軌跡會停在同一個點上，未來完全可以預測；高於它，就再也沒有可以停下來的地方了。（嚴格來説，從大約 ρ = 24.06 起，就已經有一個奇怪吸引子與那些穩定點共存了，所以在兩個數值之間那道狹窄的窗口裏，結局取決於你從哪裏出發。）學生可以改變x 追趕 y 的快慢及驅動的強度，並比較結果有何變化。可用於與高中一起進行數學探究，投影演示或讓學生各自使用裝置均可。

課程標準： Common Core CCSS.MATH.CONTENT.HSF.IF.B.4

• 用洛倫茨自己的那組數運行，盯住那兩個彩色的點：它們會作為一個整體走大約五秒，隨後舞台會在它們分開的那一刻發出提示並記下時間
• 把 ρ 降到 15 再放開——現在兩條孿生軌跡會盤旋進同一個翅膀中心，差距讀數是在縮小而不是增大
• 把 ρ 降到 1 以下，看着每一條軌跡都滑向原點並停住：翅膀根本不存在
• 把孿生軌跡的初始差距設到最小，計一計它們多待在一起了多久——每多一位小數，也只買來大約一秒
• 把起始點拖到豎直軸附近，也就是 x 和 y 都接近零的地方，看着軌跡先長長地滑下去，然後才被甩向某一隻翅膀：那條軸是一個誰也無法真正停靠的休息處

1. 1預測改變x 追趕 y 的快慢會如何影響到翅膀中心的距離，然後驗證這個預測。
2. 2運用即時計算和視覺圖像提供的證據來解釋結果。

教師常問的問題