洛倫茲吸引子

關於這個模擬實驗

此模擬以數值方式求解洛倫茲系統，這是展示混沌的簡單對流模型。學生可調整 σ、ρ 和 β，為第二條軌跡設定極小的起始偏移量，並開啟或關閉它。藍色路徑是參考路徑，橙色路徑則幾乎從同一位置出發。讀數會顯示兩者之間的分離程度、增長速率的估計值，以及分離所需的時間。老師可借此介紹對初始條件的敏感依賴性及蝴蝶效應。

學生可以探索什麼

保留經典數值，觀察藍色與橙色路徑隨時間分開。
把「起始偏移」改為較小的十的冪次，並讀取「分離所需時間」讀數。
把 ρ 降至約 24 以下，觀察運動是否不再呈混沌狀態。
將 ln(d/d0) / t 讀數與約 0.9 的李雅普諾夫指數作比較。
關閉「第二條軌跡」，專注於單一路徑。

學習目標

1描述對初始條件的敏感依賴性。
2解釋為何一個確定性系統仍然可以是不可預測的。
3觀察參數的改變如何影響吸引子的行為。
4解釋分離程度的指數增長速率。

教師常問的問題

洛倫茲吸引子模擬免費使用嗎？

是的。它完全免費，可在任何現代網頁瀏覽器上運行，包括互動電子白板、平板電腦、Chromebook 和手機。無需安裝，亦無需註冊或建立帳戶。

什麼是蝴蝶效應？

這是指起始條件中極微小的差異，可能以指數方式擴大，並導致截然不同的結果。洛倫茲系統中兩條路徑逐漸分開，正是經典的例子。

這些路徑是隨機的嗎？

不是。它們遵循精確的方程，沒有隨機性；但小差異的指數增長，使得長期預測在實際上不可能。

我怎樣使用洛倫茲吸引子模擬？

保留預設值，觀察兩條路徑分開，並記下時間。然後改變起始偏移或其中一個參數，再作比較。

嵌入這個模擬實驗

免費嵌入你的學習平台、網誌或班級網頁。

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