線性迴歸與誤差碗

線性迴歸與誤差碗將統計學和最佳化連接在一個分割的 3D 工作室中。在左側板上，六個可拖動的散點（包括一個高槓桿橙色離群值）由試驗線 y = mx + b 擬合。附在每個點上的是一個具體的紅色正方形，其邊長等於垂直殘差 |yᵢ − (mxᵢ + b)|，使其面積等於平方誤差 eᵢ²。在右側舞臺上，所有正方形的總面積被繪製為跨越斜率和截距參數空間的 3D 拋物面碗 SSE(m, b)。學生可以在碗上拖動參數標記或切換「對齊至最佳 OLS」，觀看標記在監控 r 和 R² 的同時落入唯一的全域極小值 (m̂, b̂)。

• 調整「試驗斜率 m」和「試驗截距 b」滑塊，或拖動 3D 碗上的金球，以盡可能縮小紅色殘差正方形。
• 開啟「對齊至最佳 OLS」，並驗證金色參數球是否準確落在誤差碗底部的綠色 OLS 最小值標記上。
• 在散點圖上將橙色離群值點大幅向下拖動，並觀察單個離群值如何強烈地拉動最佳斜率 m̂ 並降低 R²。
• 將所有六個散點排成幾乎一條直線，並觀看相關係數 r 接近 1.000 且 SSE 接近零。
• 切換「顯示殘差正方形」的開關，以比較垂直殘差 eᵢ 與其平方面積 eᵢ²。

1. 1解釋為什麼普通最小二乘法 (OLS) 最小化垂直殘差平方和 Σ (yᵢ − ŷᵢ)² 而不是有符號殘差。
2. 2將代數迴歸參數（斜率 m 和截距 b）連接到凸 3D 損失表面 SSE(m, b) 上的坐標。
3. 3評估離群值和高槓桿點如何扭曲最小二乘迴歸線並降低決定係數 R²。
4. 4將相關係數 r 和 R² 解釋為線性關聯和解釋變異數的度量。

教師常問的問題