傅里葉級數互動模擬實驗

數學 · 傅里葉級數 · 高中

關於這個模擬實驗

任何重複的波，無論它的拐角多麼尖鋭，都可以寫成一串普通正弦波之和，這些正弦波的頻率是該波自身頻率的整數倍。用哪些正弦波、每一個多響，由波形決定：方波只需要奇次諧波，振幅按 1/k 遞減；鋸齒波需要全部諧波，且符號交替反轉；三角波則需要奇次諧波，並且衰減快得多，按 1/k²。增加項數總能減小平均誤差，而每一個諧波都恰好消掉屬於它自己的那一份。但在跳變處，這個和永遠安定不下來：隨着項數增加，不連續點旁邊的波紋只會變得更窄，高度卻始終比波本身高出約 17.9%——也就是整個跳變量的 8.95%。這就是吉布斯現象，它是級數的性質，而不是畫圖的問題。學生可以改變諧波數量及目標波形，並比較結果有何變化。可用於與高中一起進行數學探究，投影演示或讓學生各自使用裝置均可。

課程標準： Common Core CCSS.MATH.CONTENT.HSF.TF.B.5, CCSS.MATH.CONTENT.HSF.BF.A.1.B

學生可以探索什麼

把諧波一個一個加到方波上，看每一條新的正弦波又把頂部抹平了一點
把諧波數量推到三十，檢查拐角處的那根尖峯有沒有變矮
換成三角波，看着過沖消失不見，因為拐角並不是跳變
在相同的諧波數量下比較三角波和方波的均方根誤差，並把差異與 1/k² 對 1/k 聯繫起來
看看那串旋轉的圓，檢查最後一個圓的高度是不是永遠等於波的取值

學習目標

1預測改變諧波數量會如何影響最高次諧波，然後驗證這個預測。
2運用即時計算和視覺圖像提供的證據來解釋結果。

教師常問的問題

傅里葉級數模擬實驗是免費的嗎？

免費。用新版瀏覽器開啟傅里葉級數模擬實驗即可，無須下載，也無須註冊。

它適合高中嗎？

這個模擬實驗內置涵蓋高中的學習程度預設。選擇與你班別相符的程度，然後投影演示或讓學生在自己的裝置上使用。

嵌入這個模擬實驗

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