Surfaces paramétriques

À propos de cette simulation

Cette simulation construit des surfaces à partir d'une grille de points u et v, et compte sommets, arêtes et faces à partir du maillage réel. Les élèves choisissent une surface, règlent la vitesse d'une fourmi qui la parcourt, et activent ou non les lignes de maillage et la trace de la fourmi. Les affichages donnent la caractéristique d'Euler, si la surface a un ou deux côtés, et le nombre de tours effectués par la fourmi. Le ruban de Möbius et la bouteille de Klein n'ont qu'un côté : la fourmi revient donc à l'envers. Les enseignants peuvent s'en servir pour la topologie, les idées d'aire de surface et les discussions de géométrie 3D.

Ce que les élèves peuvent explorer

Choisissez Ruban de Möbius et observez la fourmi revenir à l'envers après un tour.
Lisez l'affichage V - E + F pour le Tore, puis pour la Sphère, et comparez.
Sélectionnez Bouteille de Klein et remarquez que le dessin traverse sa propre surface en 3D.
Désactivez les Lignes de maillage u/v pour voir la surface lisse.
Augmentez la Vitesse de la fourmi et lisez comment le compteur Tours de la fourmi évolue.

Objectifs d'apprentissage

1Comparez les surfaces à un seul côté et à deux côtés, comme le ruban de Möbius et le tore.
2Calculez V - E + F et reliez-le au type de surface.
3Décrivez comment une grille de valeurs u et v construit une surface.
4Expliquez pourquoi une bouteille de Klein ne peut pas être dessinée en 3D sans se couper elle-même.

Questions fréquentes des enseignants

La simulation des surfaces paramétriques est-elle gratuite ?

Oui. Elle est entièrement gratuite et fonctionne dans tout navigateur web récent, y compris sur les tableaux blancs interactifs, les tablettes, les Chromebooks et les téléphones. Rien à installer, et aucune inscription ni compte n'est nécessaire.

Qu'est-ce que la caractéristique d'Euler ?

C'est V moins E plus F, compté sur un maillage recouvrant la surface. Elle ne dépend que de la forme : 2 pour une sphère, 0 pour un tore, un ruban de Möbius ou une bouteille de Klein.

Pourquoi un ruban de Möbius n'a-t-il qu'un seul côté ?

C'est une bande avec une demi-torsion avant que ses extrémités ne soient jointes : un chemin le long de celle-ci couvre les deux faces et revient au départ à l'envers. La fourmi le montre.

Comment utiliser la simulation des surfaces ?

Sélectionnez une surface, observez la fourmi faire un tour et lisez les affichages Côtés et V - E + F. Changez ensuite de surface et remplissez un tableau de comparaison.

Intégrer cette simulation

Placez-la dans votre ENT, votre blog ou le site de la classe — gratuitement.

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Continuer à explorer

Tapez n'importe quelle fonction et voyez sa forme apparaître aussitôt. Tracez-en jusqu'à trois à la fois en trois couleurs pour les comparer, déplacez le point de lecture pour relever une valeur sur la courbe, et repérez où chacune coupe zéro.

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Faites tourner une roue, lancez une pièce ou un dé, et observez deux séries de barres : les probabilités que les formes annoncent, et les résultats que vous avez réellement obtenus. Dix tours ne prouvent rien ; après quelques centaines, les deux se distinguent à peine.

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Déplacez m et regardez la droite pivoter ; déplacez b et regardez-la glisser. Ou faites glisser les deux points de la droite et lisez l'équation qu'elle vous renvoie. Un escalier « montée sur avancée » gravit la droite pour que le coefficient directeur devienne quelque chose que l'on peut compter.

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Aperçu de Gravité à deux, trois et N corps

Comparez une orbite à deux corps au mouvement en huit de trois corps, puis ajoutez jusqu’à douze corps. Modifiez masses, vitesses et positions initiales ; observez trajectoires et erreur numérique d’énergie.

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Aperçu de Simulation des sommes de Riemann et de l'intégrale

Approchez l'aire sous une courbe avec des bandes et choisissez comment chacune prend sa hauteur : bord gauche, bord droit, milieu ou sommet incliné. Augmentez le nombre de bandes et regardez l'erreur chuter, la somme courante étant tracée comme une courbe à part entière.

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Du modèle à la trace écrite

Utilisez une fiche pour recueillir les prédictions, les observations et les explications après l'exploration des élèves.