Simulation interactive : Chaos du pendule double

Un pendule simple se répète : donnez-lui le même départ et vous obtenez la même oscillation, à chaque fois. Fixez une seconde tige au bout de la première et la même loi de la gravité produit un mouvement qui ne se répète jamais et qu'on ne peut pas prévoir longtemps. Deux copies lâchées à un dixième de degré d'écart se suivent parfaitement au début ; ensuite, l'écart entre elles double, puis double encore, à un rythme constant — il croît donc de façon exponentielle et non linéaire. En une dizaine de secondes, les deux pendules font des choses complètement différentes. Rien n'était aléatoire ni approximé : les équations sont exactes et l'énergie de chaque copie reste stable pendant que les deux trajectoires se séparent. Ce qui échoue, c'est la prévision, et elle échoue selon un calendrier que l'on lit directement sur le graphique. Réglez au contraire les deux angles de départ au plus petit et le même pendule se tient bien, l'écart ne fait qu'osciller et le graphique s'aplatit : ici le chaos est une propriété de la force avec laquelle on le lance, pas de l'appareil. Les élèves peuvent modifier l'angle de départ du haut et l'angle de départ du bas et comparer ce qui se passe. Utilisez-la pour la démarche d'investigation en mathématiques avec Lycée, au vidéoprojecteur ou sur l'appareil de chaque élève.

Programmes : Common Core CCSS.MATH.CONTENT.HSF.IF.B.4, CCSS.MATH.CONTENT.HSF.LE.A.1

• Lancez le départ Ample et comptez les secondes avant de pouvoir distinguer les deux pendules
• Passez au départ Doux : l'écart cesse de croître, ce pendule n'est donc pas toujours chaotique
• Divisez l'avance initiale par dix et vérifiez combien de secondes de prévision cela vous a réellement achetées
• Lisez le graphique logarithmique : la portion rectiligne est une croissance exponentielle, et sa pente est le rythme de doublement
• Surveillez l'affichage de l'énergie pendant que les trajectoires se séparent : imprévisible ne veut pas dire non conservé

1. 1Prédire l'effet d'une modification de l'angle de départ du haut sur l'impulsion de la tige supérieure au lâcher, puis vérifier la prédiction.
2. 2S'appuyer sur le calcul en direct et la représentation visuelle pour expliquer le résultat.

Questions fréquentes des enseignants