双摆混沌互动模拟实验

单摆是会重复的：给它同样的起始条件，你每次都会得到同样的摆动。把第二根杆接在第一根的末端，同一条万有引力定律却造出了永不重复、也无法长期预测的运动。相差十分之一度放开的两份拷贝，起初完全同步地跟着彼此；随后它们之间的差距翻倍，再翻倍，而且节奏稳定——也就是说它按指数增长，而不是线性增长。大约十秒之内，两个摆就在做完全不同的事情了。这里没有任何随机的成分，也没有做任何近似：方程是精确的，两条轨迹分开的同时，每份拷贝的能量都保持稳定。失效的是预测，而且它失效的时间表可以直接从图上读出来。反过来，把两个起始角度都设得很小，同一个摆就会规规矩矩，差距只是来回晃动，图线也变平了——这里的混沌是“你把它甩得多用力”的性质，而不是这套装置本身的性质。学生可以改变上摆的起始角度和下摆的起始角度，并比较结果的变化。可用于与高中一起开展数学探究，投影演示或让学生各自使用设备均可。

课程标准： Common Core CCSS.MATH.CONTENT.HSF.IF.B.4, CCSS.MATH.CONTENT.HSF.LE.A.1

• 运行“大幅”起始，数一数过多少秒你才能把两个摆区分开
• 换成“轻柔”起始：差距不再增长，可见这个摆并不总是混沌的
• 把初始差距除以十，看看这实际上多买来了几秒钟的可预测时间
• 读对数图：那段直线就是指数增长，它的斜率就是差距翻倍的速率
• 在两条轨迹分开时盯住能量读数——无法预测并不等于不守恒

1. 1预测改变上摆的起始角度会如何影响释放瞬间上杆受到的推动，然后验证这个预测。
2. 2利用实时计算和可视化图像提供的证据来解释结果。

教师常问的问题