Simulation interactive : Approximation par séries de Taylor

Mathématiques · Approximation par séries de Taylor · Lycée

À propos de cette simulation

Un polynôme de Taylor se construit entièrement à partir de ce que fait la fonction en un seul point : sa valeur là, sa pente là, sa courbure là, et ainsi de suite. Chaque dérivée fixe un coefficient de plus, et chaque nouveau terme courbe le polynôme pour épouser la courbe un peu plus loin. Deux conséquences en découlent. L'approximation est toujours la meilleure au centre et se dégrade à mesure qu'on s'en éloigne : la question utile n'est donc pas si elle marche, mais quelle est la largeur de la région où elle marche. Et pour certaines fonctions, cette région a une limite nette : ln(1 + x) casse en x = −1 et 1/(1 − x) explose en x = 1, si bien qu'une série centrée en a ne converge que dans ce rayon autour de a. À l'intérieur du rayon, les termes supplémentaires diminuent et le polynôme se resserre ; à l'extérieur ils grandissent, et un degré plus élevé rend la réponse pire au lieu de meilleure. Les élèves peuvent modifier le degré et le centre et comparer ce qui se passe. Utilisez-la pour la démarche d'investigation en mathématiques avec Lycée, au vidéoprojecteur ou sur l'appareil de chaque élève.

Programmes : Common Core CCSS.MATH.CONTENT.HSA.SSE.B.4, CCSS.MATH.CONTENT.HSF.BF.A.1

Ce que les élèves peuvent explorer

Partez du degré 0 et ajoutez un terme à la fois, en observant jusqu'où l'accord s'étend à chaque étape
Passez à 1/(1 − x) et trouvez le point où ajouter des termes cesse d'aider, puis comparez-le au rayon affiché
Amenez le centre vers x = −1 sur ln(1 + x) et regardez le rayon, et la bande grisée, se réduire avec lui
Réglez une tolérance large, puis une étroite, et voyez quelle part de la bande tenait en réalité à votre exigence
Comparez sin x et 1/(1 − x) au degré 12 : l'un est juste sur tout l'écran, l'autre seulement près du milieu

Objectifs d'apprentissage

1Prédire l'effet d'une modification de le degré sur la valeur du polynôme, puis vérifier la prédiction.
2S'appuyer sur le calcul en direct et la représentation visuelle pour expliquer le résultat.

Questions fréquentes des enseignants

La simulation sur Approximation par séries de Taylor est-elle gratuite ?

Oui. Ouvrez la simulation sur Approximation par séries de Taylor dans un navigateur récent, sans téléchargement ni inscription.

Convient-elle au niveau Lycée ?

La simulation propose des préréglages couvrant Lycée. Choisissez le niveau qui correspond à votre classe, puis utilisez-la au vidéoprojecteur ou sur les appareils des élèves.

Intégrer cette simulation

Placez-la dans votre ENT, votre blog ou le site de la classe — gratuitement.

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Continuer à explorer

Faites tourner une roue, lancez une pièce ou un dé, et observez deux séries de barres : les probabilités que les formes annoncent, et les résultats que vous avez réellement obtenus. Dix tours ne prouvent rien ; après quelques centaines, les deux se distinguent à peine.

Tapez n'importe quelle fonction et voyez sa forme apparaître aussitôt. Tracez-en jusqu'à trois à la fois en trois couleurs pour les comparer, déplacez le point de lecture pour relever une valeur sur la courbe, et repérez où chacune coupe zéro.

Aperçu de Simulation du problème à trois corps

Deux corps soumis à la gravité tracent une ellipse pour toujours et l'on peut écrire la formule. Ajoutez-en un troisième et cette formule n'existe plus. Lancez l'orbite en huit, modifiez légèrement une masse et regardez un motif stable devenir imprévisible pendant que l'énergie totale, elle, ne bouge pas.

Aperçu de Simulation des sommes de Riemann et de l'intégrale

Approchez l'aire sous une courbe avec des bandes et choisissez comment chacune prend sa hauteur : bord gauche, bord droit, milieu ou sommet incliné. Augmentez le nombre de bandes et regardez l'erreur chuter, la somme courante étant tracée comme une courbe à part entière.

Déplacez m et regardez la droite pivoter ; déplacez b et regardez-la glisser. Ou faites glisser les deux points de la droite et lisez l'équation qu'elle vous renvoie. Un escalier « montée sur avancée » gravit la droite pour que le coefficient directeur devienne quelque chose que l'on peut compter.

Du modèle à la trace écrite

Utilisez une fiche pour recueillir les prédictions, les observations et les explications après l'exploration des élèves.