Solides de révolution

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À propos de cette simulation

Cette simulation approche le volume d'un solide de révolution à l'aide de disques minces, chacun de volume pi fois f de x au carré fois dx. Les élèves choisissent une courbe comme racine carrée de x, sinus de x, un cône ou une sphère, choisissent l'échantillonnage à gauche, au milieu ou à droite, et règlent le nombre de disques de 1 à 100, ou laissent tourner l'Ajout auto. Les affichages donnent le nombre de disques, la somme des disques, le volume exact et l'erreur. Les enseignants peuvent s'en servir pour introduire les sommes de Riemann et la méthode des disques en calcul intégral.

Ce que les élèves peuvent explorer

Commencez avec 8 Disques et lisez l'affichage de l'Erreur.
Augmentez les Disques jusqu'à 100 et observez la somme se rapprocher du Volume exact.
Comparez Gauche, Milieu et Droite sous Échantillonnage à, pour un même nombre de disques.
Choisissez la courbe de la sphère et vérifiez que le volume exact vaut 32 pi / 3.
Désactivez Afficher le solide exact pour ne voir que les disques.

Objectifs d'apprentissage

1Expliquez comment des disques minces approchent le volume d'un solide de révolution.
2Comparez les sommes de Riemann à gauche, au milieu et à droite.
3Observez que l'approximation converge vers l'intégrale définie lorsque le nombre de disques augmente.
4Appliquez la formule V = pi fois l'intégrale de f au carré.

Questions fréquentes des enseignants

La simulation des solides de révolution est-elle gratuite ?

Oui. Elle est entièrement gratuite et fonctionne dans tout navigateur web récent, y compris sur les tableaux blancs interactifs, les tablettes, les Chromebooks et les téléphones. Rien à installer, et aucune inscription ni compte n'est nécessaire.

Qu'est-ce que la méthode des disques ?

Le solide est découpé en disques minces perpendiculaires à l'axe. Chacun a pour volume pi fois le rayon au carré fois l'épaisseur, où le rayon est f de x. Leur somme donne le volume.

Quelle méthode d'échantillonnage est la plus précise ?

Le milieu est généralement le plus proche pour un même nombre de disques, car les surestimations et sous-estimations tendent à se compenser. Les erreurs à gauche et à droite sont plus grandes et de signes opposés pour une courbe croissante.

Comment utiliser la simulation des solides de révolution ?

Choisissez une courbe et une méthode d'échantillonnage, puis augmentez le nombre de disques en observant l'erreur. Comparez la somme finale au volume exact.

Intégrer cette simulation

Placez-la dans votre ENT, votre blog ou le site de la classe — gratuitement.

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Continuer à explorer

Tapez n'importe quelle fonction et voyez sa forme apparaître aussitôt. Tracez-en jusqu'à trois à la fois en trois couleurs pour les comparer, déplacez le point de lecture pour relever une valeur sur la courbe, et repérez où chacune coupe zéro.

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Faites tourner une roue, lancez une pièce ou un dé, et observez deux séries de barres : les probabilités que les formes annoncent, et les résultats que vous avez réellement obtenus. Dix tours ne prouvent rien ; après quelques centaines, les deux se distinguent à peine.

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Déplacez m et regardez la droite pivoter ; déplacez b et regardez-la glisser. Ou faites glisser les deux points de la droite et lisez l'équation qu'elle vous renvoie. Un escalier « montée sur avancée » gravit la droite pour que le coefficient directeur devienne quelque chose que l'on peut compter.

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Aperçu de Gravité à deux, trois et N corps

Comparez une orbite à deux corps au mouvement en huit de trois corps, puis ajoutez jusqu’à douze corps. Modifiez masses, vitesses et positions initiales ; observez trajectoires et erreur numérique d’énergie.

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Aperçu de Simulation des sommes de Riemann et de l'intégrale

Approchez l'aire sous une courbe avec des bandes et choisissez comment chacune prend sa hauteur : bord gauche, bord droit, milieu ou sommet incliné. Augmentez le nombre de bandes et regardez l'erreur chuter, la somme courante étant tracée comme une courbe à part entière.

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Du modèle à la trace écrite

Utilisez une fiche pour recueillir les prédictions, les observations et les explications après l'exploration des élèves.