Simulation interactive : Champs de pentes et méthode d'Euler

Une équation différentielle ne vous donne pas une courbe : elle vous donne une règle indiquant la pente que doit avoir la courbe en chaque point. Dessinée comme une grille de petits traits tangents, cette règle devient un paysage, et une solution est simplement une courbe qui s'accorde avec chaque trait qu'elle traverse. La méthode d'Euler parcourt le paysage de la façon la plus évidente : lisez la pente là où vous êtes, avancez tout droit d'un pas, relisez. Comme un pas droit tombe toujours à l'extérieur d'une courbure, l'erreur est systématique plutôt qu'aléatoire — et elle diminue en proportion directe du pas, ce que veut dire « du premier ordre ». Poussez le pas trop loin sur l'équation logistique et Euler franchit un plafond que l'équation elle-même interdit, ce qui montre qu'une méthode numérique peut inventer un comportement que le modèle n'a jamais eu. Les élèves peuvent modifier le pas et la hauteur de départ et comparer ce qui se passe. Utilisez-la pour la démarche d'investigation en mathématiques avec Lycée, au vidéoprojecteur ou sur l'appareil de chaque élève.

Programmes : Common Core CCSS.MATH.CONTENT.HSF.BF.A.1.A, CCSS.MATH.CONTENT.HSF.BF.A.2

• Faites glisser le point de départ à travers le champ et regardez la même équation produire toute une famille de courbes
• Divisez le pas par deux et vérifiez que l'écart final est divisé par deux avec lui
• Réglez le pas au maximum et regardez où les coins d'Euler coupent à travers les courbures
• Passez à y(1 − y) : au-delà d'un pas de 1, Euler franchit le plafond en y = 1, et au-delà de 2 il cesse de se stabiliser
• Tapez votre propre dy/dx et trouvez un point de départ où Euler et la vraie courbe se séparent à peine

1. 1Prédire l'effet d'une modification de le pas sur la réponse d'Euler, puis vérifier la prédiction.
2. 2S'appuyer sur le calcul en direct et la représentation visuelle pour expliquer le résultat.

Questions fréquentes des enseignants