Simulation interactive : L'attracteur de Lorenz

Edward Lorenz a trouvé ces trois équations en 1963 en réduisant un modèle météorologique à l'os. Rien n'y est aléatoire, rien n'y est approché : donnez deux fois les mêmes trois nombres de départ et vous obtenez deux fois la même trajectoire, pour toujours. Et pourtant, changez la huitième décimale de l'un d'eux et, en une vingtaine d'unités de temps, les deux trajectoires se retrouvent sur des ailes opposées du papillon. C'est la sensibilité aux conditions initiales, et c'est une propriété des équations, pas un défaut de l'ordinateur. Elle possède aussi un interrupteur : les centres des ailes se situent à ±racine(bêta(rho − 1)) et restent stables tant que rho ne dépasse pas sigma(sigma + bêta + 3)/(sigma − bêta − 1), soit, pour les propres valeurs de Lorenz, 470/19, environ 24,74. En dessous, les deux jumelles s'installent sur le même point et l'avenir est parfaitement prévisible. Au-dessus, il n'y a plus nulle part où s'installer. (À la rigueur, un attracteur étrange coexiste déjà avec ces points stables à partir d'environ rho = 24,06 : dans la fenêtre étroite entre les deux valeurs, la fin dépend donc du point de départ.) Les élèves peuvent modifier la vitesse à laquelle x poursuit y et l'intensité du forçage et comparer ce qui se passe. Utilisez-la pour la démarche d'investigation en mathématiques avec Lycée, au vidéoprojecteur ou sur l'appareil de chaque élève.

Programmes : Common Core CCSS.MATH.CONTENT.HSF.IF.B.4

• Lancez-le avec les valeurs mêmes de Lorenz et observez les deux têtes colorées : elles voyagent comme une seule pendant cinq secondes environ, puis la scène signale l'instant où elles se séparent et en inscrit l'heure
• Descendez rho à 15 et relâchez : les deux jumelles s'enroulent maintenant vers le même centre d'aile, et l'écart affiché diminue au lieu de croître
• Descendez rho en dessous de 1 et regardez toutes les trajectoires glisser jusqu'à l'origine et s'y arrêter : aucune aile n'existe plus
• Réglez l'avance de la jumelle au minimum et chronométrez combien de temps de plus elles restent ensemble : chaque décimale supplémentaire n'achète qu'une seconde environ
• Amenez le point de départ près de l'axe vertical, là où x et y sont presque nuls, et regardez la trajectoire glisser longuement avant d'être éjectée vers une aile : cet axe est un lieu de repos sur lequel rien ne parvient tout à fait à se poser

1. 1Prédire l'effet d'une modification de la vitesse à laquelle x poursuit y sur la distance au centre de l'aile, puis vérifier la prédiction.
2. 2S'appuyer sur le calcul en direct et la représentation visuelle pour expliquer le résultat.

Questions fréquentes des enseignants