Régression linéaire et bol d'erreur

Régression linéaire et bol d'erreur relie les statistiques et l'optimisation dans un studio 3D divisé. Sur le tableau de gauche, six points de nuage de points déplaçables — incluant une valeur aberrante orange à fort effet de levier — sont ajustés par une ligne d'essai y = mx + b. Attaché à chaque point se trouve un carré rouge littéral dont le côté est égal au résidu vertical |yᵢ − (mxᵢ + b)|, ce qui rend son aire égale à l'erreur carrée eᵢ². Sur la scène de droite, l'aire totale de tous les carrés est tracée sous la forme d'un bol paraboloïde 3D SCE(m, b) sur l'espace des paramètres de pente et d'ordonnée à l'origine. Les élèves peuvent glisser le marqueur de paramètre sur le bol ou activer l'ajustement au MCO optimal pour observer le marqueur s'installer dans le minimum global unique (m̂, b̂) tout en surveillant r et R².

• Ajustez les curseurs de la pente d'essai m et de l'ordonnée à l'origine d'essai b ou glissez la boule dorée sur le bol 3D pour réduire autant que possible les carrés résiduels rouges.
• Activez l'ajustement au MCO optimal et vérifiez que la boule de paramètre dorée atterrit précisément sur le marqueur du minimum MCO vert au fond du bol d'erreur.
• Glissez brusquement le point de valeur aberrante orange vers le bas sur le nuage de points et observez à quel point une seule valeur aberrante tire fortement la pente optimale m̂ et abaisse R².
• Alignez les six points du nuage de points en une ligne presque droite et observez la corrélation r s'approcher de 1,000 et la SCE s'approcher de zéro.
• Activez et désactivez l'affichage des carrés résiduels pour comparer les résidus verticaux eᵢ à leurs aires carrées eᵢ².

1. 1Expliquez pourquoi les moindres carrés ordinaires (MCO) minimisent la somme des résidus verticaux carrés Σ (yᵢ − ŷᵢ)² plutôt que les résidus signés.
2. 2Reliez les paramètres de régression algébriques (pente m et ordonnée à l'origine b) aux coordonnées sur une surface de perte 3D convexe SCE(m, b).
3. 3Évaluez la façon dont les valeurs aberrantes et les points à fort effet de levier déforment la ligne de régression des moindres carrés et réduisent le coefficient de détermination R².
4. 4Interprétez la corrélation r et R² comme des mesures d'association linéaire et de variance expliquée.

Questions fréquentes des enseignants