Simulation interactive : Séries de Fourier

Toute onde périodique, si anguleuse soit-elle, peut s'écrire comme une somme de simples sinusoïdes dont les fréquences sont des multiples entiers de la sienne. Lesquelles, et avec quelle amplitude, c'est la forme qui le fixe : une onde carrée n'a besoin que des harmoniques impaires avec des amplitudes décroissant en 1/k, une dent de scie les demande toutes avec le signe qui alterne, et un triangle demande les impaires décroissant bien plus vite, en 1/k². Ajouter des termes réduit toujours l'erreur moyenne, et chaque harmonique en retire exactement sa part. Mais au niveau d'un saut, la somme ne se calme jamais : l'ondulation près de la discontinuité se resserre à mesure qu'on ajoute des termes tout en restant environ 17,9 % plus haute que l'onde elle-même — soit 8,95 % du saut complet. C'est le phénomène de Gibbs, et c'est une propriété de la série, pas du dessin. Les élèves peuvent modifier les harmoniques et l'onde cible et comparer ce qui se passe. Utilisez-la pour la démarche d'investigation en mathématiques avec Lycée, au vidéoprojecteur ou sur l'appareil de chaque élève.

Programmes : Common Core CCSS.MATH.CONTENT.HSF.TF.B.5, CCSS.MATH.CONTENT.HSF.BF.A.1.B

• Ajoutez les harmoniques une à une à une onde carrée et regardez chaque nouvelle sinusoïde aplanir un peu plus le sommet
• Montez jusqu'à trente harmoniques et vérifiez si le pic au coin a raccourci
• Passez à l'onde triangulaire et voyez le dépassement disparaître, parce qu'un coin n'est pas un saut
• Comparez l'erreur RMS du triangle et du carré au même nombre d'harmoniques, et reliez l'écart à 1/k² contre 1/k
• Observez la chaîne de cercles et vérifiez que la hauteur du dernier est toujours la valeur de l'onde

1. 1Prédire l'effet d'une modification de les harmoniques sur l'harmonique la plus élevée, puis vérifier la prédiction.
2. 2S'appuyer sur le calcul en direct et la représentation visuelle pour expliquer le résultat.

Questions fréquentes des enseignants