Épicycles de Fourier

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À propos de cette simulation

Cette simulation trace une courbe à l'aide d'une chaîne de cercles tournants, chacun tournant à un multiple entier de la vitesse de base. Les élèves choisissent une onde carrée, en dents de scie ou triangulaire, ou une forme en cœur, en étoile ou en infini, puis règlent le nombre de cercles de 1 à 30 et activent ou non les cercles et la trace. Les affichages donnent le nombre de cercles utilisés, l'erreur RMS et la position du stylo. Les enseignants peuvent s'en servir pour introduire les séries de Fourier, les sommes d'ondes sinusoïdales et l'approximation, et pour montrer le dépassement de Gibbs aux angles d'une onde carrée.

Ce que les élèves peuvent explorer

Choisissez Onde carrée et augmentez les Cercles de 1 à 30 en observant l'affichage de l'erreur RMS diminuer.
Passez à Cœur et comparez 5 cercles avec 30 cercles.
Désactivez Afficher les cercles pour ne voir que la trajectoire du stylo.
Essayez Onde en dents de scie et Onde triangulaire, et comparez la vitesse de convergence de chacune.
Activez et désactivez la Trace pour suivre ou effacer le tracé.

Objectifs d'apprentissage

1Expliquez qu'une courbe périodique peut être construite à partir de cercles tournants ou d'ondes sinusoïdales.
2Observez comment l'ajout de termes améliore une approximation.
3Interprétez une mesure d'erreur lorsque le nombre de cercles augmente.
4Comparez le nombre de termes nécessaires pour différentes ondes.

Questions fréquentes des enseignants

La simulation des épicycles de Fourier est-elle gratuite ?

Oui. Elle est entièrement gratuite et fonctionne dans tout navigateur web récent, y compris sur les tableaux blancs interactifs, les tablettes, les Chromebooks et les téléphones. Rien à installer, et aucune inscription ni compte n'est nécessaire.

Qu'est-ce qu'une série de Fourier ?

C'est une façon d'écrire une fonction périodique comme une somme d'ondes sinus et cosinus de fréquences différentes. Chaque terme de cette simulation correspond à un cercle tournant.

Pourquoi les angles d'une onde carrée semblent-ils irréguliers ?

Près d'un saut, une somme de Fourier dépasse la valeur réelle d'environ 9 %, c'est le phénomène de Gibbs. Ajouter des cercles réduit ce dépassement sans le supprimer.

Comment utiliser la simulation des épicycles de Fourier ?

Choisissez une forme, commencez avec quelques cercles et ajoutez-en progressivement. Observez l'affichage de l'erreur RMS et la position du stylo pour voir à quel point le dessin se rapproche de la cible.

Intégrer cette simulation

Placez-la dans votre ENT, votre blog ou le site de la classe — gratuitement.

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Continuer à explorer

Tapez n'importe quelle fonction et voyez sa forme apparaître aussitôt. Tracez-en jusqu'à trois à la fois en trois couleurs pour les comparer, déplacez le point de lecture pour relever une valeur sur la courbe, et repérez où chacune coupe zéro.

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Faites tourner une roue, lancez une pièce ou un dé, et observez deux séries de barres : les probabilités que les formes annoncent, et les résultats que vous avez réellement obtenus. Dix tours ne prouvent rien ; après quelques centaines, les deux se distinguent à peine.

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Déplacez m et regardez la droite pivoter ; déplacez b et regardez-la glisser. Ou faites glisser les deux points de la droite et lisez l'équation qu'elle vous renvoie. Un escalier « montée sur avancée » gravit la droite pour que le coefficient directeur devienne quelque chose que l'on peut compter.

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Aperçu de Gravité à deux, trois et N corps

Comparez une orbite à deux corps au mouvement en huit de trois corps, puis ajoutez jusqu’à douze corps. Modifiez masses, vitesses et positions initiales ; observez trajectoires et erreur numérique d’énergie.

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Aperçu de Simulation des sommes de Riemann et de l'intégrale

Approchez l'aire sous une courbe avec des bandes et choisissez comment chacune prend sa hauteur : bord gauche, bord droit, milieu ou sommet incliné. Augmentez le nombre de bandes et regardez l'erreur chuter, la somme courante étant tracée comme une courbe à part entière.

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