泰勒级数逼近互动模拟实验

泰勒多项式完全是由函数在某一个点上的表现造出来的：它在那里的取值、在那里的斜率、在那里的弯曲程度，依此类推。每一阶导数确定一个新的系数，而每一个新项都会把多项式往外掰一点，好让它与曲线贴合得更远。由此得出两件事。逼近总是在中心处最好，越往外走越差，所以有用的问题不是它管不管用，而是它管用的那片区域有多宽。而对某些函数来说，那片区域有一道硬边界：ln(1 + x) 在 x = −1 处断裂，1/(1 − x) 在 x = 1 处发散，因此以 a 为中心的级数只在离 a 这么远的范围内收敛。在收敛半径以内，新增的项越来越小，多项式逐渐贴合；在半径以外，它们反而越来越大，提高次数只会让答案更差而不是更好。学生可以改变次数和展开中心，并比较结果的变化。可用于与高中一起开展数学探究，投影演示或让学生各自使用设备均可。

课程标准： Common Core CCSS.MATH.CONTENT.HSA.SSE.B.4, CCSS.MATH.CONTENT.HSF.BF.A.1

• 从 0 次开始，一次加一项，看每一次贴合又向外延伸了多远
• 换成 1/(1 − x)，找出再加项也无济于事的那一点，然后与半径读数对照
• 在 ln(1 + x) 上把中心往 x = −1 拖，看着半径和那条阴影带一起缩小
• 先设一个宽松的容差，再设一个严格的，看看那条带子里有多少其实取决于你有多挑剔
• 在 12 次时比较 sin x 与 1/(1 − x)：一个在整个屏幕上都准确，另一个只在中间附近准确

1. 1预测改变次数会如何影响多项式给出的值，然后验证这个预测。
2. 2利用实时计算和可视化图像提供的证据来解释结果。

教师常问的问题