斜率场与欧拉法互动模拟实验

微分方程并不直接交给你一条曲线；它交给你的是一条规则，规定曲线在每一点必须有多陡。把这条规则画成一格格短短的切线，它就变成了一片可以阅读的地形，而一个解不过是一条与它经过的每一根短线都吻合的曲线。欧拉法用最直白的方式走过这片地形：读出你站立处的斜率，直着走一步，再读一次。因为直直的一步总是落在弯道的外侧，所以误差是系统性的而非随机的——而且它与步长成正比地缩小，这正是“一阶”的含义。在逻辑斯谛方程上把步长推得太大，欧拉法就会爬穿方程本身根本不允许的那道天花板，这说明数值方法可以凭空造出模型从未有过的行为。学生可以改变步长和起始高度，并比较结果的变化。可用于与高中一起开展数学探究，投影演示或让学生各自使用设备均可。

课程标准： Common Core CCSS.MATH.CONTENT.HSF.BF.A.1.A, CCSS.MATH.CONTENT.HSF.BF.A.2

• 把起始点在整片斜率场上拖动，看同一个方程生出一整族曲线
• 把步长减半，检查末端的差距是否也随之减半
• 把步长调到最大，看看欧拉法的折角是在哪里把弯道抄近路切掉的
• 换成 y(1 − y)：步长超过 1 时欧拉法会爬穿 y = 1 的天花板，超过 2 时它就再也安定不下来了
• 输入你自己的 dy/dx，找一个起始点，让欧拉法与真实曲线几乎分不开

1. 1预测改变步长会如何影响欧拉法给出的结果，然后验证这个预测。
2. 2利用实时计算和可视化图像提供的证据来解释结果。

教师常问的问题