洛伦茨吸引子互动模拟实验

爱德华·洛伦茨在 1963 年把一个天气模型削到只剩骨架时，找到了这三个方程。其中没有任何随机成分，也没有任何近似：给出同样的三个初始数两次，你就会得到同样的轨迹两次，永远如此。然而，只要把其中一个数的小数点后第八位改动一下，大约二十个时间单位之后，两条轨迹就分别落在蝴蝶的两只翅膀上了。这就是对初始条件的敏感依赖，它是方程本身的性质，而不是计算机的缺陷。它也有一个“开关”：两只翅膀的中心位于 ±根号(β(ρ − 1))，并且在 ρ 超过 σ(σ + β + 3)/(σ − β − 1) 之前都是稳定的——按照洛伦茨自己用的那组数，这个阈值是 470/19，约 24.74。低于它，两条孪生轨迹会停在同一个点上，未来完全可以预测；高于它，就再也没有可以停下来的地方了。（严格来说，从大约 ρ = 24.06 起，就已经有一个奇怪吸引子与那些稳定点共存了，所以在两个数值之间那道狭窄的窗口里，结局取决于你从哪里出发。）学生可以改变x 追赶 y 的快慢和驱动的强度，并比较结果的变化。可用于与高中一起开展数学探究，投影演示或让学生各自使用设备均可。

课程标准： Common Core CCSS.MATH.CONTENT.HSF.IF.B.4

• 用洛伦茨自己的那组数运行，盯住那两个彩色的点：它们会作为一个整体走大约五秒，随后舞台会在它们分开的那一刻发出提示并记下时间
• 把 ρ 降到 15 再放开——现在两条孪生轨迹会盘旋进同一个翅膀中心，差距读数是在缩小而不是增大
• 把 ρ 降到 1 以下，看着每一条轨迹都滑向原点并停住：翅膀根本不存在
• 把孪生轨迹的初始差距设到最小，计一计它们多待在一起了多久——每多一位小数，也只买来大约一秒
• 把起始点拖到竖直轴附近，也就是 x 和 y 都接近零的地方，看着轨迹先长长地滑下去，然后才被甩向某一只翅膀：那条轴是一个谁也无法真正停靠的休息处

1. 1预测改变x 追赶 y 的快慢会如何影响到翅膀中心的距离，然后验证这个预测。
2. 2利用实时计算和可视化图像提供的证据来解释结果。

教师常问的问题