傅里叶级数互动模拟实验

数学 · 傅里叶级数 · 高中

关于这个模拟实验

任何重复的波，无论它的拐角多么尖锐，都可以写成一串普通正弦波之和，这些正弦波的频率是该波自身频率的整数倍。用哪些正弦波、每一个多响，由波形决定：方波只需要奇次谐波，振幅按 1/k 递减；锯齿波需要全部谐波，且符号交替反转；三角波则需要奇次谐波，并且衰减快得多，按 1/k²。增加项数总能减小平均误差，而每一个谐波都恰好消掉属于它自己的那一份。但在跳变处，这个和永远安定不下来：随着项数增加，不连续点旁边的波纹只会变得更窄，高度却始终比波本身高出约 17.9%——也就是整个跳变量的 8.95%。这就是吉布斯现象，它是级数的性质，而不是画图的问题。学生可以改变谐波数量和目标波形，并比较结果的变化。可用于与高中一起开展数学探究，投影演示或让学生各自使用设备均可。

课程标准： Common Core CCSS.MATH.CONTENT.HSF.TF.B.5, CCSS.MATH.CONTENT.HSF.BF.A.1.B

学生可以探索什么

把谐波一个一个加到方波上，看每一条新的正弦波又把顶部抹平了一点
把谐波数量推到三十，检查拐角处的那根尖峰有没有变矮
换成三角波，看着过冲消失不见，因为拐角并不是跳变
在相同的谐波数量下比较三角波和方波的均方根误差，并把差异与 1/k² 对 1/k 联系起来
看看那串旋转的圆，检查最后一个圆的高度是不是永远等于波的取值

学习目标

1预测改变谐波数量会如何影响最高次谐波，然后验证这个预测。
2利用实时计算和可视化图像提供的证据来解释结果。

教师常问的问题

傅里叶级数模拟实验免费吗？

免费。用现代浏览器打开傅里叶级数模拟实验即可，无需下载，也无需注册。

它适合高中吗？

该模拟实验内置覆盖高中的学习难度预设。选择与你班级相符的难度，然后投影演示或让学生在自己的设备上使用。

嵌入这个模拟实验

免费嵌入你的学习平台、博客或班级网站。

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