Pi Monte Carlo & Gatuaja e Buffon-it 3D

Rreth këtij simulimi

Monte Carlo & Gatuaja e Buffon-it demonstron se si rastësia mund të zgjidhë probleme gjeometrike deterministike. Në modalitetin Sferë në Kub (3D), pikat e rastësishme (x, y, z) bien në një kub me brinjë 2R; duke qenë se sfera e brendashkruar zë saktësisht π/6 ≈ 52.36% të vëllimit të kubit, shumëzimi i fraksionit të goditjeve të arta brenda me 6 vlerëson π. Nxënësit mund të kalojnë gjithashtu te raporti klasik 2D Rreth në Katror (π/4) ose te Gatuajat e Buffon-it, ku shkopinj të gjatësisë L të hedhur mbi dërrasa dyshemeje të ndara me distancë D kryqëzojnë një vijë me probabilitet 2L/(πD). Zvarritja e emetuesit të sipërm ose gjuajtja e shpërthimeve me 500 mostra e çon kurbën e konvergjencës live drejt 3.14159 përmes Ligjit të Numrave të Mëdhenj.

Çfarë mund të eksplorojnë nxënësit

Shikoni mostrat e hershme në modalitetin Sferë në Kub (3D) të luhaten gjerësisht në grafikun e konvergjencës, pastaj klikoni Lësho Shpërthimin 500 disa herë për të parë kurbën të vendoset afër 3.1416.
Zvarritni ose klikoni unazën e ndritshme të emetuesit të artë sipër kubit për të lëshuar shpërthime të përqendruara shigjetash në vëllim.
Kaloni modalitetin e simulimit te Rreth në Katror (2D) dhe krahasoni përqindjen e goditjeve (~78.5% = π/4) me përqindjen e goditjeve të sferës 3D (~52.4% = π/6).
Zgjidhni modalitetin Gatuajat e Buffon-it për të hedhur shkopinj 3D mbi vija paralele të vizatuara dhe për të parë gjilpërat kryqëzuese të ndriçojnë në ngjyrë të artë.
Përdorni Pastro mostrat dhe ekzekutoni tre prova të veçanta me N = 500 për të vëzhguar variancën statistikore në vlerësimin Monte Carlo.

Objektivat e të nxënit

1Përfaqësoni raportet e probabilitetit gjeometrik V_sphere / V_cube = π/6 dhe A_circle / A_square = π/4.
2Shpjegoni se si Ligji i Numrave të Mëdhenj garanton se një përpjesëtim i mostrës Monte Carlo K/N konvergjon drejt probabilitetit të vërtetë kur N rritet.
3Përshkruani se si Gatuaja e Buffon-it lidh probabilitetin gjeometrik të këndeve dhe pozicioneve të rastësishme me π.
4Analizoni pse gabimi i vlerësimit Monte Carlo zvogëlohet në mënyrë proporcionale me 1/√N.

Pyetjet që bëjnë mësuesit

Pse 6 herë (goditjet / totali) vlerëson π në modalitetin Sferë-në-Kub 3D?

Një kub që shtrihet nga −R në +R ka gjatësi brinje 2R dhe vëllim (2R)³ = 8R³. Një sferë me rreze R të brendashkruar brenda tij ka vëllim (4/3)πR³. Pjesëtimi i vëllimit të sferës me vëllimin e kubit anulon R³ dhe jep (4/3)π / 8 = π / 6, kështu që π = 6 × (V_sphere / V_cube).

Si e vlerëson Gatuaja e Buffon-it π duke përdorur shkopinj të hedhur?

Në vitin 1777 Georges-Louis Leclerc, Comte de Buffon tregoi se kur një shkop me gjatësi L (me L ≤ D) hidhet rastësisht mbi vija paralele të ndara me distancë D, probabiliteti i kryqëzimit të një vije është P = 2L / (πD). Rirregullimi jep π ≈ 2L·N / (D·K).

Pse vlerësimi i π lëkundet në madhësi të vogla mostrash N?

Marrja e mostrave të rastësishme ka gabim standard proporcional me 1/√N. Me vetëm 50 shigjeta, disa goditje me fat ose pa fat e zhvendosin raportin për disa përqind; zvogëlimi i gabimit me një faktor 10 kërkon 100 herë më shumë mostra.

Ku përdoren metodat Monte Carlo në shkencën dhe inxhinierinë e vërtetë?

Simulimet Monte Carlo janë thelbësore në fizikën me shumë dimensione, transportin e rrezatimit, modelimin e rrezikut financiar, gjurmimin e rrezeve në grafikët kompjuterikë dhe kërkimin në pemë të AI ku integralet e sakta kanë shumë dimensione për t'u zgjidhur në një rrjetë.

Vendoseni këtë simulim në faqen tuaj

Vendoseni në platformën tuaj mësimore, në blog ose në faqen e klasës — falas.

<iframe src="https://kiwibee.io/sq/simulations/monte-carlo-probability-pi-3d-3d-simulation/embed" title="Monte Carlo &amp; Gatuaja e Buffon-it | KiwiBee" loading="lazy" allowfullscreen style="width:100%;height:min(70vh,620px);min-height:420px;border:0;border-radius:16px"></iframe>

Vazhdoni të eksploroni

Pamje paraprake e Ndërtues grafikësh funksionesh

Shkruani çfarëdo funksioni dhe shihni menjëherë formën e tij. Vizatoni deri në tre njëherësh me tri ngjyra për t'i krahasuar, tërhiqni pikën e leximit për të lexuar një vlerë nga kurba dhe shihni ku e pret secili zeron.

—

Rrotulloni një rrotë, hidhni një monedhë ose një zar dhe vëzhgoni dy grupe shtyllash: shanset që parashikojnë format dhe rezultatet që dolën vërtet. Dhjetë rrotullime nuk provojnë asgjë; pas disa qindrave, të dyja mezi dallohen nga njëra-tjetra.

—

Pamje paraprake e Ndërtues grafikësh y = mx + b

Lëvizni m dhe shihni drejtëzën të anohet; lëvizni b dhe shihni atë të rrëshqasë. Ose tërhiqni dy pikat e drejtëzës dhe lexoni ekuacionin që ajo ju kthen. Një shkallë «ngjitje mbi ecje» ngjitet përgjatë drejtëzës, që koeficienti këndor të bëhet diçka që mund ta numërosh.

—

Pamje paraprake e Graviteti me dy, tre dhe N trupa

Krahasoni një orbitë me dy trupa me lëvizjen në formë tete të tre trupave, pastaj shtoni deri në dymbëdhjetë trupa. Ndryshoni masat, shpejtësitë dhe pozicionet fillestare; vëzhgoni trajektoret dhe gabimin numerik të energjisë.

—

Pamje paraprake e Simulim i shumave të Rimanit dhe i integralit

Përafroni syprinën nën një kurbë me shirita dhe zgjidhni si e merr secili lartësinë: cepi i majtë, cepi i djathtë, mesi ose një majë e pjerrët. Rritni numrin e shiritave dhe shihni gabimin të bjerë, ndërsa shuma rrjedhëse vizatohet si kurbë më vete.

—

Nga modeli te provat

Përdorni një fletë pune për të mbledhur parashikimet, vëzhgimet dhe shpjegimet pasi nxënësit të kenë eksploruar.