घूर्णन के ठोस

आपकी गोपनीयता से जुड़े विकल्प

KiwiBee वयस्क विज़िटर्स को समझने, पूरे हुए साइन-अप मापने और अभियानों को बेहतर बनाने के लिए Google Analytics, Google Ads और Meta Pixel की वैकल्पिक कुकीज़ का उपयोग करता है। ज़रूरी कुकीज़ हमेशा चालू रहती हैं। OpenAI का ChatGPT Ads Pixel विज्ञापन की सहमति के बाद पेज व्यू और भेजी गई पूछताछ भी मापता है और मिलान के लिए हैश किए गए संपर्क विवरण का उपयोग कर सकता है। गोपनीयता नीति

इस सिमुलेशन के बारे में

यह सिमुलेशन घूर्णन के ठोस का आयतन पतली चक्तियों से लगभग निकालता है, जिनमें से हर एक का आयतन pi गुणा f(x) का वर्ग गुणा dx है। छात्र वर्गमूल x, sin x, शंकु या गोले जैसा वक्र चुनते हैं, बाएँ, मध्य-बिंदु या दाएँ नमूनाकरण चुनते हैं, और चक्तियों की संख्या 1 से 100 तक सेट करते हैं या स्वतः-जोड़ चलने देते हैं। रीडआउट चक्तियों की संख्या, चक्तियों का योग, सटीक आयतन और त्रुटि दिखाते हैं। शिक्षक इससे कलन में रीमान योग और चक्ती विधि का परिचय दे सकते हैं।

विद्यार्थी क्या खोज सकते हैं

8 चक्तियों से शुरू करें और 'त्रुटि' रीडआउट पढ़ें।
चक्तियाँ 100 तक बढ़ाएँ और देखें कि योग 'सटीक आयतन' के कितना पास पहुँचता है।
उतनी ही चक्तियों के लिए 'नमूना लें' के तहत बाएँ, मध्य-बिंदु और दाएँ की तुलना करें।
गोले वाला वक्र चुनें और जाँचें कि सटीक आयतन 32 pi बटा 3 है।
केवल चक्तियाँ देखने के लिए 'सटीक ठोस दिखाएँ' बंद करें।

अधिगम उद्देश्य

1समझाएँ कि पतली चक्तियाँ घूर्णन के ठोस के आयतन का सन्निकटन कैसे करती हैं।
2बाएँ, मध्य-बिंदु और दाएँ रीमान नमूनाकरण की तुलना करें।
3देखें कि चक्तियाँ बढ़ने पर सन्निकटन निश्चित समाकल की ओर अभिसरित होता है।
4सूत्र V = pi गुणा f² का समाकल लागू करें।

शिक्षकों के आम सवाल

क्या घूर्णन के ठोस सिमुलेशन उपयोग के लिए मुफ़्त है?

हाँ। यह पूरी तरह निःशुल्क है और किसी भी आधुनिक वेब ब्राउज़र में चलता है, जिसमें इंटरैक्टिव व्हाइटबोर्ड, टैबलेट, Chromebook और फ़ोन भी शामिल हैं। इंस्टॉल करने को कुछ नहीं है, और न साइन-अप की और न खाते की ज़रूरत है।

चक्ती विधि क्या है?

ठोस को अक्ष के लंबवत पतली चक्तियों में काटा जाता है। हर एक का आयतन pi गुणा त्रिज्या का वर्ग गुणा मोटाई होता है, जहाँ त्रिज्या f(x) है। उन्हें जोड़ने पर आयतन मिलता है।

कौन सी नमूनाकरण विधि सबसे सटीक है?

उतनी ही चक्तियों के लिए मध्य-बिंदु आमतौर पर सबसे पास होता है, क्योंकि अधिक और कम अनुमान एक-दूसरे को संतुलित करते हैं। बाएँ और दाएँ त्रुटियाँ बड़ी होती हैं और बढ़ते वक्र के लिए चिह्न में उलटी।

मैं घूर्णन के ठोस सिमुलेशन का उपयोग कैसे करूँ?

एक वक्र और नमूनाकरण विधि चुनें, फिर त्रुटि देखते हुए चक्तियों की संख्या बढ़ाएँ। अंतिम योग की तुलना सटीक आयतन से करें।

इस सिमुलेशन को एम्बेड करें

इसे अपने एलएमएस, ब्लॉग या कक्षा की वेबसाइट पर लगाएँ — मुफ़्त।

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कोई भी फलन टाइप कीजिए और उसका आकार तुरंत देखिए। तुलना के लिए तीन रंगों में एक साथ तीन तक आलेख खींचिए, वक्र से कोई मान पढ़ने के लिए अनुरेखण बिंदु खिसकाइए, और देखिए कि हर वक्र शून्य को कहाँ काटता है।

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चक्र घुमाइए, सिक्का उछालिए या पासा फेंकिए, और दो तरह की छड़ें देखिए: आकृतियों से निकलने वाली प्रायिकताएँ, और आपको सचमुच मिले परिणाम। दस चक्कर कुछ साबित नहीं करते; कुछ सौ के बाद दोनों में फ़र्क़ करना मुश्किल हो जाता है।

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m सरकाइए और रेखा को झुकते देखिए; b सरकाइए और उसे ऊपर-नीचे खिसकते देखिए। या रेखा पर बने दोनों बिंदु खींचिए और वह समीकरण पढ़िए जो रेखा आपको लौटा देती है। 'चढ़ाई बटा चाल' वाली सीढ़ी रेखा पर चढ़ती है, ताकि ढाल कुछ ऐसा बन जाए जिसे आप गिन सकें।

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दो-पिंड, तीन-पिंड और N-पिंड गुरुत्व की झलक

दो पिंडों की कक्षा की तुलना तीन पिंडों की आठ के आकार की गति से करें, फिर बारह तक पिंड जोड़ें। शुरुआती द्रव्यमान, वेग और स्थान बदलें; पथ और संख्यात्मक ऊर्जा त्रुटि देखें।

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वक्र के नीचे के क्षेत्रफल को पट्टियों से आसन्न कीजिए और चुनिए कि हर पट्टी अपनी ऊँचाई कहाँ से ले: बायाँ किनारा, दायाँ किनारा, मध्य या ढलवाँ शीर्ष। पट्टियों की संख्या बढ़ाइए और त्रुटि को गिरते देखिए, जबकि चलता योग अपने अलग वक्र के रूप में खिंचता जाता है।

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मॉडल से प्रमाण तक

विद्यार्थियों के खोज लेने के बाद उनके अनुमान, प्रेक्षण और व्याख्याएँ दर्ज करने के लिए वर्कशीट का उपयोग करें।