ढाल क्षेत्र और ऑयलर विधि इंटरैक्टिव सिमुलेशन

अवकल समीकरण आपको कोई वक्र नहीं थमाता; वह आपको यह नियम थमाता है कि वक्र को हर बिंदु पर कितना ढालू होना चाहिए। छोटी-छोटी स्पर्शरेखाओं की जाली के रूप में खींचने पर वह नियम एक भू-दृश्य बन जाता है, और हल बस वह वक्र है जो अपने रास्ते की हर लकीर से मेल खाता है। ऑयलर विधि इस भू-दृश्य पर सबसे सीधे ढंग से चलती है: जहाँ खड़े हैं वहाँ की ढाल पढ़िए, एक कदम सीधे चलिए, फिर पढ़िए। चूँकि सीधा कदम हमेशा मोड़ के बाहर की ओर गिरता है, इसलिए त्रुटि यादृच्छिक नहीं बल्कि व्यवस्थित होती है — और वह कदम के सीधे अनुपात में घटती है, 'प्रथम कोटि' का यही अर्थ है। संभार-तांत्रिक समीकरण पर कदम बहुत बड़ा कर दीजिए और ऑयलर उस छत को पार कर जाता है जिसे स्वयं समीकरण मना करता है — यह दिखाता है कि कोई संख्यात्मक विधि ऐसा व्यवहार गढ़ सकती है जो प्रतिरूप में कभी था ही नहीं। विद्यार्थी कदम का आकार और शुरुआती ऊँचाई बदल सकते हैं और तुलना कर सकते हैं कि क्या होता है। इसे हाई स्कूल के साथ गणित की खोजपरक गतिविधि में इस्तेमाल करें — प्रोजेक्टर पर या हर विद्यार्थी के डिवाइस पर।

मानक: Common Core CCSS.MATH.CONTENT.HSF.BF.A.1.A, CCSS.MATH.CONTENT.HSF.BF.A.2

• शुरुआती बिंदु को पूरे क्षेत्र में खींचिए और एक ही समीकरण से वक्रों का पूरा कुल निकलते देखिए
• कदम आधा कीजिए और जाँचिए कि अंत का अंतर भी उसके साथ आधा होता है या नहीं
• कदम को सबसे बड़ा कीजिए और देखिए कि ऑयलर के कोने मोड़ों को कहाँ काटकर निकल जाते हैं
• y(1 − y) पर जाइए: 1 से बड़े कदम पर ऑयलर y = 1 की छत पार कर जाता है, और 2 से बड़े पर वह कभी टिकता ही नहीं
• अपना dy/dx टाइप कीजिए और ऐसा शुरुआती बिंदु खोजिए जहाँ ऑयलर और असली वक्र मुश्किल से ही अलग होते हों

1. 1अनुमान लगाना कि कदम का आकार बदलने से ऑयलर का उत्तर पर क्या असर पड़ेगा, फिर उस अनुमान को जाँचना।
2. 2परिणाम की व्याख्या के लिए लाइव गणना और दृश्य चित्रण से मिले प्रमाण का उपयोग करना।

शिक्षकों के आम सवाल