मोंटे कार्लो पाई और बफन की सुई 3D | प्रायिकता सिमुलेशन

इस सिमुलेशन के बारे में

Monte Carlo & Buffon's Needle प्रदर्शित करता है कि कैसे यादृच्छिकता नियतात्मक ज्यामितीय समस्याओं को हल कर सकती है। गोला-में-घन (3D) मोड में, भुजा 2R के घन में यादृच्छिक बिंदु (x, y, z) बरसते हैं; चूँकि अंकित गोला घन के आयतन का ठीक π/6 ≈ 52.36% घेरता है, इसलिए सोने के अंदर के हिट्स के अंश को 6 से गुणा करने पर π का अनुमान लगता है। छात्र क्लासिक 2D वृत्त-में-वर्ग अनुपात (π/4) या बफन की सुइयों पर भी स्विच कर सकते हैं, जहाँ D दूरी पर अलग रखी गई फर्श की पट्टियों पर गिराए गए लंबाई L के टुकड़े probability 2L/(πD) के साथ एक रेखा को पार करते हैं। ओवरहेड एमिटर को खींचने या 500-नमूना विस्फोट फायर करने से बड़े संख्याओं के नियम (Law of Large Numbers) द्वारा लाइव अभिसरण वक्र 3.14159 की ओर बढ़ता है।

विद्यार्थी क्या खोज सकते हैं

अभिसरण चार्ट पर गोला-में-घन (3D) मोड में शुरुआती नमूनों को व्यापक रूप से उतार-चढ़ाव करते हुए देखें, फिर वक्र को 3.1416 के करीब बसते हुए देखने के लिए '500 विस्फोट ड्रॉप करें' पर कई बार क्लिक करें।
आयतन में डार्ट्स के केंद्रित विस्फोट बरसाने के लिए घन के ऊपर चमकते स्वर्ण एमिटर रिंग को खींचें या क्लिक करें।
सिमुलेशन मोड को 'वर्ग में वृत्त (2D)' पर स्विच करें और 3D गोला हिट प्रतिशत (~52.4% = π/6) के साथ हिट प्रतिशत (~78.5% = π/4) की तुलना करें।
समानांतर रूल की गई रेखाओं पर 3D छड़ें गिराने और पार करने वाली सुइयों को सोने में चमकते हुए देखने के लिए 'बफन की सुइयाँ' मोड चुनें।
नमूने साफ़ करें का उपयोग करें और मोंटे कार्लो अनुमान में सांख्यिकीय विचरण का निरीक्षण करने के लिए N = 500 के तीन अलग-अलग परीक्षण चलाएं।

अधिगम उद्देश्य

1ज्यामितीय प्रायिकता अनुपात V_sphere / V_cube = π/6 और A_circle / A_square = π/4 व्युत्पन्न करें।
2स्पष्ट करें कि बड़े संख्याओं का नियम यह कैसे गारंटी देता है कि N के बढ़ने पर मोंटे कार्लो नमूना अनुपात K/N वास्तविक प्रायिकता पर अभिसरित होता है।
3वर्णन करें कि बफन की सुई यादृच्छिक कोणों और स्थितियों की ज्यामितीय प्रायिकता को π से कैसे जोड़ती है।
4विश्लेषण करें कि मोंटे कार्लो अनुमान त्रुटि 1/√N के समानुपाती क्यों घटती है।

शिक्षकों के आम सवाल

3D गोला-में-घन मोड में 6 गुना (हिट्स / कुल) π का अनुमान क्यों लगाता है?

−R से +R तक फैलने वाले घन की भुजा की लंबाई 2R और आयतन (2R)³ = 8R³ है। इसके अंदर अंकित त्रिज्या R के गोले का आयतन (4/3)πR³ है। घन आयतन से गोला आयतन को विभाजित करने पर R³ कट जाता है और (4/3)π / 8 = π / 6 मिलता है, इसलिए π = 6 × (V_sphere / V_cube).

बफन की सुई गिराई गई छड़ों का उपयोग करके π का अनुमान कैसे लगाती है?

1777 में जॉर्जेस-लुई लेक्लर, कॉम्टे डी बफन ने दिखाया कि जब लंबाई L (L ≤ D के साथ) की एक सुई को D दूरी पर अलग रखी गई समानांतर रेखाओं पर यादृच्छिक रूप से गिराया जाता है, तो किसी रेखा को पार करने की प्रायिकता P = 2L / (πD) होती है। पुनर्व्यवस्थित करने पर π ≈ 2L·N / (D·K) मिलता है।

छोटे नमूने के आकार N पर π का अनुमान क्यों उछलता है?

यादृच्छिक नमूने में 1/√N के समानुपाती मानक त्रुटि होती है। केवल 50 डार्ट्स के साथ, कुछ भाग्यशाली या अभागे हिट अनुपात को कई प्रतिशत तक स्थानांतरित कर देते हैं; त्रुटि को 10 के कारक से कम करने के लिए 100 गुना अधिक नमूनों की आवश्यकता होती है।

वास्तविक विज्ञान और इंजीनियरिंग में मोंटे कार्लो विधियों का उपयोग कहाँ किया जाता है?

मोंटे कार्लो सिमुलेशन उच्च-आयामी भौतिकी, विकिरण परिवहन, वित्तीय जोखिम मॉडलिंग, कंप्यूटर ग्राफिक्स रे ट्रेसिंग, और AI ट्री खोज में आवश्यक हैं जहाँ सटीक समाकल को ग्रिड पर हल करने के लिए बहुत अधिक आयाम होते हैं।

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इसे अपने एलएमएस, ब्लॉग या कक्षा की वेबसाइट पर लगाएँ — मुफ़्त।

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खोज जारी रखें

कोई भी फलन टाइप कीजिए और उसका आकार तुरंत देखिए। तुलना के लिए तीन रंगों में एक साथ तीन तक आलेख खींचिए, वक्र से कोई मान पढ़ने के लिए अनुरेखण बिंदु खिसकाइए, और देखिए कि हर वक्र शून्य को कहाँ काटता है।

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चक्र घुमाइए, सिक्का उछालिए या पासा फेंकिए, और दो तरह की छड़ें देखिए: आकृतियों से निकलने वाली प्रायिकताएँ, और आपको सचमुच मिले परिणाम। दस चक्कर कुछ साबित नहीं करते; कुछ सौ के बाद दोनों में फ़र्क़ करना मुश्किल हो जाता है।

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m सरकाइए और रेखा को झुकते देखिए; b सरकाइए और उसे ऊपर-नीचे खिसकते देखिए। या रेखा पर बने दोनों बिंदु खींचिए और वह समीकरण पढ़िए जो रेखा आपको लौटा देती है। 'चढ़ाई बटा चाल' वाली सीढ़ी रेखा पर चढ़ती है, ताकि ढाल कुछ ऐसा बन जाए जिसे आप गिन सकें।

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दो-पिंड, तीन-पिंड और N-पिंड गुरुत्व की झलक

दो पिंडों की कक्षा की तुलना तीन पिंडों की आठ के आकार की गति से करें, फिर बारह तक पिंड जोड़ें। शुरुआती द्रव्यमान, वेग और स्थान बदलें; पथ और संख्यात्मक ऊर्जा त्रुटि देखें।

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वक्र के नीचे के क्षेत्रफल को पट्टियों से आसन्न कीजिए और चुनिए कि हर पट्टी अपनी ऊँचाई कहाँ से ले: बायाँ किनारा, दायाँ किनारा, मध्य या ढलवाँ शीर्ष। पट्टियों की संख्या बढ़ाइए और त्रुटि को गिरते देखिए, जबकि चलता योग अपने अलग वक्र के रूप में खिंचता जाता है।

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मॉडल से प्रमाण तक

विद्यार्थियों के खोज लेने के बाद उनके अनुमान, प्रेक्षण और व्याख्याएँ दर्ज करने के लिए वर्कशीट का उपयोग करें।