Simulación interactiva de Aproximación por series de Taylor

Un polinomio de Taylor se construye por completo a partir de lo que la función hace en un solo punto: su valor allí, su pendiente allí, su curvatura allí, y así sucesivamente. Cada derivada fija un coeficiente más, y cada término nuevo dobla el polinomio para que siga la curva un poco más lejos. De ahí se siguen dos cosas. La aproximación es siempre mejor en el centro y empeora a medida que te alejas, así que la pregunta útil no es si funciona, sino cuán ancha es la región donde funciona. Y para algunas funciones esa región tiene un límite duro: ln(1 + x) se rompe en x = −1 y 1/(1 − x) se dispara en x = 1, de modo que una serie centrada en a converge solo dentro de esa distancia de a. Dentro del radio los términos extra se encogen y el polinomio se ciñe a la curva; fuera crecen, y un grado mayor empeora la respuesta en vez de mejorarla. Los alumnos pueden cambiar el grado y el centro y comparar qué ocurre. Úsala para la indagación en matemáticas con Bachillerato, en un proyector o en el dispositivo de cada alumno.

Estándares: Common Core CCSS.MATH.CONTENT.HSA.SSE.B.4, CCSS.MATH.CONTENT.HSF.BF.A.1

• Empieza en grado 0 y añade un término cada vez, observando cuánto más lejos llega el ajuste en cada paso
• Cambia a 1/(1 − x) y encuentra el punto donde más términos dejan de ayudar; compáralo después con la lectura del radio
• Arrastra el centro hacia x = −1 en ln(1 + x) y mira cómo se reducen con él el radio y la franja sombreada
• Fija una tolerancia amplia y luego una estrecha, y comprueba cuánta parte de la franja dependía en realidad de lo exigente que estabas siendo
• Compara sin x y 1/(1 − x) en grado 12: una acierta en toda la pantalla, la otra solo cerca del centro

1. 1Predecir cómo afectará cambiar el grado a el valor del polinomio y, después, comprobar la predicción.
2. 2Usar la evidencia de el cálculo en vivo y la representación visual para explicar el resultado.

Preguntas frecuentes de los docentes