Simulación interactiva de Series de Fourier

Cualquier onda periódica, por afiladas que sean sus esquinas, puede escribirse como una suma de ondas senoidales simples cuyas frecuencias son múltiplos enteros de la de la propia onda. Qué senos, y con qué amplitud, lo fija la forma: una onda cuadrada solo necesita los armónicos impares con amplitudes que caen como 1/k, una de diente de sierra los necesita todos con el signo alternando cada vez, y una triangular necesita los impares cayendo mucho más deprisa, como 1/k². Añadir términos siempre reduce el error medio, y cada armónico elimina exactamente la parte que le corresponde. Pero en un salto la suma nunca se asienta: la ondulación junto a la discontinuidad se estrecha a medida que añades términos, pero se mantiene alrededor de un 17,9 % más alta que la propia onda, un 8,95 % del salto completo. Eso es el fenómeno de Gibbs, y es una propiedad de la serie, no del dibujo. Los alumnos pueden cambiar los armónicos y la onda objetivo y comparar qué ocurre. Úsala para la indagación en matemáticas con Bachillerato, en un proyector o en el dispositivo de cada alumno.

Estándares: Common Core CCSS.MATH.CONTENT.HSF.TF.B.5, CCSS.MATH.CONTENT.HSF.BF.A.1.B

• Añade armónicos de uno en uno a una onda cuadrada y mira cómo cada nuevo seno aplana un poco más la parte superior
• Sube el número de armónicos hasta treinta y comprueba si el pico de la esquina se ha acortado algo
• Cambia a la onda triangular y observa cómo desaparece el rebasamiento, porque una esquina no es un salto
• Compara el error RMS de la triangular y la cuadrada con el mismo número de armónicos y relaciona la diferencia con 1/k² frente a 1/k
• Observa la cadena de círculos y comprueba que la altura del último es siempre el valor de la onda

1. 1Predecir cómo afectará cambiar los armónicos a el armónico más alto y, después, comprobar la predicción.
2. 2Usar la evidencia de el cálculo en vivo y la representación visual para explicar el resultado.

Preguntas frecuentes de los docentes