Monte Carlo & Kim Buffon

Monte Carlo & Kim Buffon minh họa cách tính ngẫu nhiên có thể giải quyết các bài toán hình học tất định. Ở chế độ Hình cầu trong Hình lập phương (3D), các điểm ngẫu nhiên (x, y, z) rơi vào một hình lập phương có cạnh 2R; vì hình cầu nội tiếp chiếm chính xác π/6 ≈ 52.36% thể tích hình lập phương, việc nhân phân số các lần trúng vàng bên trong với 6 sẽ ước tính được π. Học sinh cũng có thể chuyển sang tỷ lệ Hình tròn trong Hình vuông 2D cổ điển (π/4) hoặc Kim Buffon, nơi các que có chiều dài L thả xuống các ván sàn cách nhau khoảng cách D cắt qua một đường thẳng với xác suất 2L/(πD). Kéo nguồn phát trên cao hoặc bắn các loạt 500 mẫu sẽ đẩy đường cong hội tụ trực tiếp về phía 3.14159 theo Luật số lớn.

• Xem các mẫu ban đầu ở chế độ Hình cầu trong Hình lập phương (3D) dao động mạnh trên biểu đồ hội tụ, sau đó nhấp vào Thả loạt 500 vài lần để xem đường cong ổn định gần mức 3.1416.
• Kéo hoặc nhấp vào vòng phát sáng nguồn phát màu vàng phía trên khối lập phương để thả các loạt phi tiêu tập trung vào thể tích.
• Chuyển chế độ Mô phỏng sang Hình tròn trong Hình vuông (2D) và so sánh tỷ lệ phần trăm trúng (~78.5% = π/4) với tỷ lệ phần trăm trúng hình cầu 3D (~52.4% = π/6).
• Chọn chế độ Kim Buffon để thả các que 3D lên các đường kẻ song song và xem các cây kim cắt qua sáng lên màu vàng.
• Sử dụng Xóa mẫu và chạy ba thử nghiệm riêng biệt với N = 500 để quan sát phương sai thống kê trong ước tính Monte Carlo.

1. 1Rút ra các tỷ lệ xác suất hình học V_sphere / V_cube = π/6 và A_circle / A_square = π/4.
2. 2Giải thích cách Luật số lớn đảm bảo rằng tỷ lệ mẫu Monte Carlo K/N hội tụ về xác suất thực khi N tăng.
3. 3Mô tả cách Kim Buffon kết nối xác suất hình học của các góc và vị trí ngẫu nhiên với π.
4. 4Phân tích lý do tại sao sai số ước tính Monte Carlo giảm tỷ lệ nghịch với 1/√N.

Câu hỏi giáo viên thường đặt ra