Simulação interativa de Séries de Fourier

Qualquer onda periódica, por mais afiados que sejam seus cantos, pode ser escrita como uma soma de ondas senoidais simples cujas frequências são múltiplos inteiros da frequência dela. Quais senoides, e com que amplitude, é o formato que define: uma onda quadrada só precisa dos harmônicos ímpares com amplitudes caindo como 1/k, uma dente de serra precisa de todos com o sinal alternando, e uma triangular precisa dos ímpares caindo bem mais rápido, como 1/k². Acrescentar termos sempre reduz o erro médio, e cada harmônico remove exatamente a parte que lhe cabe. Mas num salto a soma nunca se acomoda: a ondulação ao lado da descontinuidade fica mais estreita à medida que se acrescentam termos, mas continua cerca de 17,9% mais alta que a própria onda — 8,95% do salto inteiro. Isso é o fenômeno de Gibbs, e é uma propriedade da série, não do desenho. Os alunos podem alterar os harmônicos e a onda-alvo e comparar o que acontece. Use na investigação em matemática com Ensino médio, no projetor ou no dispositivo de cada aluno.

Habilidades: Common Core CCSS.MATH.CONTENT.HSF.TF.B.5, CCSS.MATH.CONTENT.HSF.BF.A.1.B

• Acrescente harmônicos um a um a uma onda quadrada e veja cada nova senoide achatar um pouco mais o topo
• Suba a contagem de harmônicos até trinta e confira se o pico no canto ficou mais baixo
• Troque para a onda triangular e veja o excesso sumir, porque um canto não é um salto
• Compare o erro RMS da triangular e da quadrada com a mesma quantidade de harmônicos, e ligue a diferença a 1/k² contra 1/k
• Observe a cadeia de círculos e confira que a altura do último é sempre o valor da onda

1. 1Prever como alterar os harmônicos afetará o harmônico mais alto e, em seguida, testar a previsão.
2. 2Usar as evidências de cálculo ao vivo e representação visual para explicar o resultado.

Perguntas frequentes dos professores