محاكاة تفاعلية: التقريب بمتسلسلة تايلور

يُبنى كثير حدود تايلور بالكامل ممّا تفعله الدالّة عند نقطة واحدة: قيمتها هناك، وميلها هناك، وتقوّسها هناك، وهكذا. فكل مشتقّة تثبّت معاملًا إضافيًا، وكل حدّ جديد يثني كثير الحدود ليطابق المنحنى مسافة أبعد قليلًا. ويترتّب على ذلك أمران. التقريب أفضل ما يكون عند المركز ويسوء كلما ابتعدت، فالسؤال المفيد ليس هل ينجح، بل ما عرض المنطقة التي ينجح فيها. ولبعض الدوال حدّ صارم لتلك المنطقة: فـln(1 + x) ينكسر عند x = −1 و1/(1 − x) ينفجر عند x = 1، فلا تتقارب متسلسلة مركزها a إلا داخل تلك المسافة من a. وداخل نصف القطر تتقلّص الحدود الإضافية ويقترب كثير الحدود؛ وخارجه تكبر، فتزيد الدرجةُ الأعلى الجوابَ سوءًا لا تحسينًا. يمكن للطلاب تغيير الدرجة والمركز ومقارنة ما يحدث. استخدمها في الاستقصاء ضمن الرياضيات مع المرحلة الثانوية، على جهاز العرض أو على جهاز كل طالب.

المعايير: Common Core CCSS.MATH.CONTENT.HSA.SSE.B.4, CCSS.MATH.CONTENT.HSF.BF.A.1

• ابدأ من الدرجة 0 وأضِف حدًّا في كل مرة، مراقبًا كم يمتدّ التطابق أبعد في كل خطوة
• انتقل إلى 1/(1 − x) وجِد النقطة التي تكفّ عندها الحدود الإضافية عن النفع، ثم قارنها بقراءة نصف القطر
• اسحب المركز نحو x = −1 على ln(1 + x) وراقب نصف القطر، والشريط المظلّل، وهما يتقلّصان معه
• اضبط تفاوتًا واسعًا ثم ضيّقًا، وانظر كم من ذلك الشريط كان في الحقيقة متعلّقًا بمدى تشدّدك
• قارن sin x و1/(1 − x) عند الدرجة 12: أحدهما صحيح عبر الشاشة كلها، والآخر قرب المنتصف فقط

1. 1توقّع أثر تغيير الدرجة على قيمة كثير الحدود، ثم اختبار هذا التوقع.
2. 2استخدام الأدلة من الحساب المباشر والتمثيل المرئي لتفسير النتيجة.

أسئلة يطرحها المعلمون