محاكاة مونت كارلو وباي وإبرة بوفون ثلاثية الأبعاد

عن هذه المحاكاة

توضح محاكاة مونت كارلو وإبرة بوفون كيف يمكن للعشوائية حل المشكلات الهندسية الحتمية. في وضع الكرة في مكعب (ثلاثي الأبعاد)، تتساقط نقاط عشوائية (x, y, z) في مكعب طول ضلعه 2R؛ ونظراً لأن الكرة المحاطة تحتل تماماً π/6 ≈ 52.36% من حجم المكعب، فإن ضرب كسر الإصابات الذهبية الداخلية في 6 يقدر π. يمكن للطلاب أيضاً التبديل إلى نسبة الدائرة في المربع الكلاسيكية ثنائية الأبعاد (π/4) أو إبر بوفون، حيث تقطع العصي ذات الطول L الساقطة على ألواح أرضية تفصل بينها مسافة D خطاً باحتمالية 2L/(πD). يؤدي سحب الباعث العلوي أو إطلاق دفعات من 500 عينة إلى دفع منحنى التقارب الحي نحو 3.14159 بواسطة قانون الأعداد الكبيرة.

ما الذي يمكن للطلاب استكشافه

راقب العينات المبكرة في وضع الكرة في مكعب (ثلاثي الأبعاد) تتقلب بشكل واسع على مخطط التقارب، ثم انقر فوق إسقاط دفعة 500 عدة مرات لمعاينة المنحنى وهو يستقر بالقرب من 3.1416.
اسحب أو انقر فوق حلقة الباعث الذهبي المتوهج فوق المكعب لتساقط دفعات مركزة من السهام في الحجم.
قم بتغيير وضع المحاكاة إلى دائرة في مربع (ثنائية الأبعاد) وقارن نسبة الإصابة (~78.5% = π/4) بنسبة إصابة الكرة ثلاثية الأبعاد (~52.4% = π/6).
حدد وضع إبر بوفون لإسقاط عصي ثلاثية الأبعاد على خطوط مسطرة متوازية ومشاهدة الإبر المتقاطعة تضيء باللون الذهبي.
استخدم مسح العينات وقم بتشغيل ثلاث تجارب منفصلة لـ N = 500 لملاحظة التباين الإحصائي في تقدير مونت كارلو.

أهداف التعلّم

1اشتق نسب الاحتمالية الهندسية V_sphere / V_cube = π/6 و A_circle / A_square = π/4.
2اشرح كيف يضمن قانون الأعداد الكبيرة أن نسبة عينة مونت كارلو K/N تتقارب مع الاحتمالية الحقيقية كلما نمت N.
3صف كيف تربط إبرة بوفون الاحتمالية الهندسية للزوايا والمواقع العشوائية بـ π.
4حلل سبب تناقص خطأ تقدير مونت كارلو بشكل يتناسب طردياً مع 1/√N.

أسئلة يطرحها المعلمون

لماذا يقدر 6 أضعاف (الإصابات / الإجمالي) قيمة π في وضع الكرة في المكعب ثلاثي الأبعاد؟

المكعب الممتد من −R إلى +R له طول ضلع 2R وحجم (2R)³ = 8R³. الكرة ذات نصف القطر R المحاطة داخله لها حجم (4/3)πR³. قسمة حجم الكرة على حجم المكعب تلغي R³ وتعطي (4/3)π / 8 = π / 6، إذن π = 6 × (V_sphere / V_cube).

كيف تقدر إبرة بوفون قيمة π باستخدام العصي الساقطة؟

في عام 1777 أظهر جورج لويس لولير، الكونت د بوفون، أنه عندما يتم إسقاط إبرة طولها L (مع L ≤ D) بشكل عشوائي على خطوط متوازية تفصل بينها مسافة D، فإن احتمالية تقاطع خط هي P = 2L / (πD). إعادة الترتيب تعطي π ≈ 2L·N / (D·K).

لماذا يتقلب تقدير π عند أحجام العينات الصغيرة N؟

العينات العشوائية لها خطأ معياري يتناسب مع 1/√N. مع وجود 50 سهماً فقط, فإن بضع إصابات محظوظة أو سيئة تغير النسبة بعدة بالمائة؛ وتقليل الخطأ بمقدار 10 أضعاف يتطلب 100 ضعف من العينات.

أين تُستخدم طرق مونت كارلو في العلوم والهندسة الحقيقية؟

محاكاة مونت كارلو ضرورية في الفيزياء عالية الأبعاد، ونقل الإشعاع، ونمذجة المخاطر المالية، وتتبع الأشعة للرسوميات الحاسوبية، وبحث شجرة الذكاء الاصطناعي حيث تحتوي التكاملات الدقيقة على أبعاد كثيرة جداً لا يمكن حلها على شبكة.

أدرِج هذه المحاكاة في موقعك

ضعها في منصتك التعليمية أو مدونتك أو موقع صفك — مجانًا.

<iframe src="https://kiwibee.io/ar/simulations/monte-carlo-probability-pi-3d-3d-simulation/embed" title="مونت كارلو وإبرة بوفون | KiwiBee" loading="lazy" allowfullscreen style="width:100%;height:min(70vh,620px);min-height:420px;border:0;border-radius:16px"></iframe>

واصل الاستكشاف

اكتب أيّ دالّة وشاهد شكلها في الحال. ارسم حتى ثلاث دوال معًا بثلاثة ألوان لمقارنتها، واسحب نقطة التتبّع لقراءة قيمة من المنحنى، وانظر أين يقطع كلّ منها الصفر.

—

أدِر العجلة، أو ارمِ عملة أو حجر نرد، وراقب مجموعتَي أعمدة: الاحتمالات التي تتنبّأ بها الأشكال، والنتائج التي حصلت عليها فعلًا. عشر إدارات لا تثبت شيئًا؛ وبعد بضع مئات يصعب التمييز بين الاثنين.

—

حرّك m وشاهد المستقيم يميل؛ وحرّك b وشاهده ينزلق. أو اسحب نقطتَي المستقيم واقرأ المعادلة التي يكتبها لك. وسُلّم «الارتفاع على الإزاحة» يصعد المستقيم، فيصير الميل شيئًا تستطيع عدّه.

—

معاينة جاذبية جسمين وثلاثة أجسام وN أجسام

قارن مدار جسمين بحركة ثلاثة أجسام على شكل ثمانية، ثم أضف حتى اثني عشر جسمًا. غيّر الكتل والسرعات والمواضع الابتدائية؛ وراقب المسارات والخطأ العددي في الطاقة.

—

قرّب المساحة تحت المنحنى بشرائح، واختر كيف تأخذ كلّ شريحة ارتفاعها: الحافة اليسرى، أو اليمنى، أو المنتصف، أو قمّة مائلة. ارفع عدد الشرائح وراقب الخطأ وهو ينخفض، بينما يُرسم المجموع التراكمي منحنى قائمًا بذاته.

—

من النموذج إلى الدليل

استخدم ورقة عمل لتدوين التوقعات والملاحظات والتفسيرات بعد أن يستكشف الطلاب.