密碼學與金鑰交換

密碼學與金鑰交換揭開了保護現代互聯網安全的數學神秘面紗。三個發光工作站分別代表愛麗絲（左）、監控公共頻道的竊聽者伊夫（中）和鮑勃（右）。在迪菲-赫爾曼模式下，愛麗絲將她的秘密整數 a 與公共生成器 g 和質數模數 p 混合，透過橋樑發送 A = gᵃ mod p，而鮑勃則發送 B = gᵇ mod p. 儘管伊夫在她的小學模數算術時鐘環上攔截了 g、p、A 和 B，但她面臨着艱巨的離散對數問題，而愛麗絲計算 Bᵃ mod p 且鮑勃計算 Aᵇ mod p 以解鎖完全相同的發光共享秘密 S = gᵃᵇ mod p. 切換到 RSA 模式則展示了非對稱加密 C = Mᵉ mod n 與解密 M = Cᵈ mod n。

• 拖動或點擊愛麗絲的藍色私鑰水晶 (a) 或鮑勃的綠色私鑰水晶 (b)，並驗證兩個頂部金庫是否始終亮起完全相同的共享秘密數字和顏色！
• 檢視中央伊夫的公共頻道讀數，以查看穿過線路的所有內容 (g, p, A, B)，並注意為什麼知道 gᵃ mod p 並不能直接揭示 a。
• 在 23、19 和 29 之間切換質數模數 p，並觀看中央模數時鐘指針跳到新的餘數 S mod p。
• 將通訊協定更改為「RSA 公共/私密掛鎖」並調整愛麗絲的訊息 M，以觀看它透過公共橋樑加密為密文 C = M³ mod 33，並在鮑勃的工作站解密回 M。
• 拖動中心伊夫的紅色攔截器球，以在愛麗絲和鮑勃之間來回洗擦行進中的公共信使封包。

1. 1使用模冪運算 gᵃ mod p 和 gᵇ mod p 追蹤迪菲-赫爾曼金鑰交換的四個步驟。
2. 2以代數方式證明為什麼愛麗絲和鮑勃會得出相同的共享秘密：(gᵇ)ᵃ mod p = (gᵃ)ᵇ mod p = gᵃᵇ mod p。
3. 3解釋為什麼模冪運算作為單向陷門函數（正向容易，透過離散對數反轉困難）。
4. 4對比對稱金鑰建立（迪菲-赫爾曼）與非對稱公鑰/私鑰掛鎖加密 (RSA)。

教師常問的問題