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Cryptographie et échange de clés

À propos de cette simulation

La cryptographie et l'échange de clés démystifient les mathématiques protégeant la sécurité moderne d'Internet. Trois stations éclairées représentent Alice (à gauche), Ève l'espionne surveillant le canal public (au centre) et Bob (à droite). En mode Diffie–Hellman, Alice mélange son entier secret a avec le générateur public g et le module premier p pour envoyer A = gᵃ mod p à travers le pont, tandis que Bob envoie B = gᵇ mod p. Même si Ève the intercepte g, p, A et B sur son horloge d'arithmétique modulaire, elle fait face au problème difficile du logarithme discret, tandis qu'Alice calcule Bᵃ mod p et que Bob calcule Aᵇ mod p pour déverrouiller exactement le même secret partagé lumineux S = gᵃᵇ mod p. Le passage au mode RSA montre le chiffrement asymétrique C = Mᵉ mod n et le déchiffrement M = Cᵈ mod n.

Ce que les élèves peuvent explorer

  • Faites glisser ou cliquez sur le cristal de clé privée bleu d'Alice (a) ou sur le cristal de clé privée vert de Bob (b) et vérifiez que les deux coffres supérieurs s'allument toujours avec exactement le même numéro et la même couleur de secret partagé !
  • Inspectez l'affichage du canal public d'Ève au centre pour voir tout ce qui traverse le réseau (g, p, A, B), et remarquez pourquoi la connaissance de gᵃ mod p ne révèle pas directement a.
  • Modifiez le module premier p entre 23, 19 et 29 et observez l'aiguille de l'horloge modulaire centrale sauter vers le nouveau reste S mod p.
  • Changez le protocole en Cadenas public/privé RSA et ajustez le message M d'Alice pour le voir se chiffrer en texte chiffré C = M³ mod 33 sur le pont public et se déchiffrer en M à la station de Bob.
  • Faites glisser l'orbe intercepteur rouge d'Ève au centre pour faire aller et venir les paquets du courrier public voyageant entre Alice et Bob.

Objectifs d'apprentissage

  1. 1Tracez les quatre étapes de l'échange de clés Diffie–Hellman à l'aide de l'exponentiation modulaire gᵃ mod p et gᵇ mod p.
  2. 2Prouvez algébriquement pourquoi Alice et Bob arrivent au même secret partagé : (gᵇ)ᵃ mod p = (gᵃ)ᵇ mod p = gᵃᵇ mod p.
  3. 3Expliquez pourquoi l'exponentiation modulaire agit comme une fonction trappe unidirectionnelle (facile dans le sens direct, difficile à inverser via les logarithmes discrets).
  4. 4Comparez l'établissement de clés symétriques (Diffie–Hellman) au chiffrement par cadenas public/privé asymétrique (RSA).

Questions fréquentes des enseignants

Comment Alice et Bob peuvent-ils se mettre d'accord sur une clé secrète alors qu'Ève voit chaque message qu'ils envoient ?

Ils n'envoyent jamais leurs nombres secrets a ou b. À la place, ils envoient les résultats modulaires mélangés A = gᵃ mod p et B = gᵇ mod p. Comme l'élévation à une puissance modulo p s'enroule de manière répétée autour du cadran de l'horloge, Ève ne peut pas facilement inverser A pour trouver a, pourtant Alice et Bob peuvent chacun appliquer leur propre puissance secrète au nombre public de l'autre pour atteindre gᵃᵇ mod p.

Qu'est-ce que le problème du logarithme discret ?

Le calcul de gᵃ mod p est rapide même pour des nombres de 2048 bits, mais étant donné g, p et le reste A = gᵃ mod p, trouver l'exposant a nécessite de parcourir un nombre astronomique de possibilités lorsque p est un grand nombre premier.

Pourquoi cette simulation utilise-t-elle de petits nombres premiers comme p = 23 au lieu d'immenses nombres premiers ?

De petits nombres premiers comme p = 23 vous permettent de vérifier chaque calcul à la main (par exemple, 5⁶ mod 23 = 15625 mod 23 = 8). Les connexions TLS réelles utilisent la même équation avec des nombres premiers de centaines de chiffres de long afin qu'Ève ne puisse pas les deviner par force brute.

En quoi le RSA diffère-t-il de Diffie–Hellman ?

Diffie–Hellman permet à deux parties de créer conjointement une clé secrète partagée. Le RSA est un cadenas asymétrique : Bob publie un verrou public (e, n) que n'importe qui comme Alice peut enclencher sur un message (C = Mᵉ mod n), tandis que seul Bob détient la clé privée d nécessaire pour l'ouvrir (M = Cᵈ mod n).

Intégrer cette simulation

Placez-la dans votre ENT, votre blog ou le site de la classe — gratuitement.

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