斜率場與歐拉法互動模擬實驗

微分方程並不直接交給你一條曲線；它交給你的是一條規則，規定曲線在每一點必須有多陡。把這條規則畫成一格格短短的切線，它就變成了一片可以閲讀的地形，而一個解不過是一條與它經過的每一根短線都吻合的曲線。歐拉法用最直白的方式走過這片地形：讀出你站立處的斜率，直着走一步，再讀一次。因為直直的一步總是落在彎道的外側，所以誤差是系統性的而非隨機的——而且它與步長成正比地縮小，這正是「一階」的含義。在邏輯斯諦方程上把步長推得太大，歐拉法就會爬穿方程本身根本不允許的那道天花板，這説明數值方法可以憑空造出模型從未有過的行為。學生可以改變步長及起始高度，並比較結果有何變化。可用於與高中一起進行數學探究，投影演示或讓學生各自使用裝置均可。

課程標準： Common Core CCSS.MATH.CONTENT.HSF.BF.A.1.A, CCSS.MATH.CONTENT.HSF.BF.A.2

• 把起始點在整片斜率場上拖動，看同一個方程生出一整族曲線
• 把步長減半，檢查末端的差距是否也隨之減半
• 把步長調到最大，看看歐拉法的折角是在哪裏把彎道抄近路切掉的
• 換成 y(1 − y)：步長超過 1 時歐拉法會爬穿 y = 1 的天花板，超過 2 時它就再也安定不下來了
• 輸入你自己的 dy/dx，找一個起始點，讓歐拉法與真實曲線幾乎分不開

1. 1預測改變步長會如何影響歐拉法給出的結果，然後驗證這個預測。
2. 2運用即時計算和視覺圖像提供的證據來解釋結果。

教師常問的問題