রৈখিক রিগ্রেশন এবং 3D ত্রুটি বাটি | লিস্ট স্কয়ার্স সিমুলেশন

এই সিমুলেশন সম্পর্কে

রৈখিক রিগ্রেশন এবং ত্রুটি বাটি একটি বিভক্ত 3D স্টুডিওতে পরিসংখ্যান এবং অপ্টিমাইজেশনকে সংযুক্ত করে। বাম বোর্ডে, ছয়টি ড্র্যাগযোগ্য স্কেটার পয়েন্ট—যার মধ্যে একটি উচ্চ-লিভারেজ কমলা আউটলায়ার রয়েছে—একটি ট্রায়াল রেখা y = mx + b দ্বারা ফিট করা হয়। প্রতিটি পয়েন্টের সাথে একটি আক্ষরিক লাল বর্গক্ষেত্র সংযুক্ত থাকে যার বাহু উল্লম্ব অবশিষ্টাংশ |yᵢ − (mxᵢ + b)| এর সমান, যা এর ক্ষেত্রফলকে বর্গাকার ত্রুটি eᵢ² এর সমান করে। ডান স্টেজে, সমস্ত বর্গক্ষেত্রের মোট ক্ষেত্রফল ঢাল এবং ইন্টারসেপ্ট প্যারামিটার স্থানের উপর একটি 3D প্যারাবোলয়েড বাটি SSE(m, b) হিসেবে প্লট করা হয়। শিক্ষার্থীরা r এবং R² পর্যবেক্ষণ করার সময় অনন্য বিশ্বব্যাপী সর্বনিম্ন (m̂, b̂) এ মার্কারের থিতু হওয়া দেখতে বাটিতে প্যারামিটার মার্কার ড্র্যাগ করতে পারে বা স্ন্যাপ টু অপ্টিমাল OLS টগল করতে পারে।

শিক্ষার্থীরা কী অনুসন্ধান করতে পারে

লাল অবশিষ্টাংশ বর্গক্ষেত্রগুলোকে যতটা সম্ভব ছোট করতে ট্রায়াল ঢাল m এবং ট্রায়াল ইন্টারসেপ্ট b স্লাইডার সামঞ্জস্য করুন অথবা 3D বাটিতে সোনার বলটি টানুন।
স্ন্যাপ টু অপ্টিমাল OLS চালু করুন এবং যাচাই করুন যে ত্রুটি বাটির নিচে সোনার প্যারামিটার বলটি নিখুঁতভাবে সবুজ OLS সর্বনিম্ন মার্কারে গিয়ে পড়ে।
স্কেটার প্লটে কমলা আউটলায়ার পয়েন্টটি তীব্রভাবে নিচের দিকে টানুন এবং দেখুন কীভাবে একটি একক আউটলায়ার জোরালোভাবে অনুকূল ঢাল m̂ টেনে নেয় এবং R² কমিয়ে দেয়।
সব ছয়টি স্কেটার পয়েন্টকে প্রায় সোজা রেখায় সারিবদ্ধ করুন এবং সহসম্বন্ধ r কে 1.000 এর কাছাকাছি এবং SSE কে শূন্যের কাছাকাছি পৌঁছাতে দেখুন।
উল্লম্ব অবশিষ্টাংশ eᵢ কে তাদের বর্গাকার ক্ষেত্রফল eᵢ² এর সাথে তুলনা করতে টগল শো রেসিডুয়াল স্কয়ার্স চালু এবং বন্ধ করুন।

শিখন উদ্দেশ্য

1কেন অর্ডিনারি লিস্ট স্কয়ার্স (OLS) স্বাক্ষরিত অবশিষ্টাংশের চেয়ে বর্গাকার উল্লম্ব অবশিষ্টাংশের যোগফল Σ (yᵢ − ŷᵢ)² ন্যূনতম করে তা ব্যাখ্যা করুন।
2বীজগণিতীয় রিগ্রেশন প্যারামিটারগুলোকে (ঢাল m এবং ইন্টারসেপ্ট b) একটি উত্তল 3D লস পৃষ্ঠ SSE(m, b) এর স্থানাঙ্কের সাথে সংযুক্ত করুন।
3আউটলায়ার এবং উচ্চ-লিভারেজ পয়েন্টগুলো কীভাবে লিস্ট-স্কয়ার্স রিগ্রেশন রেখাকে বিকৃত করে এবং নির্ধারণের সহগ R² কমিয়ে দেয় তা মূল্যায়ন করুন।
4রৈখিক সংযোগ এবং ব্যাখ্যা করা প্রকরণের পরিমাপ হিসেবে সহসম্বন্ধ r এবং R² ব্যাখ্যা করুন।

শিক্ষকদের সাধারণ প্রশ্ন

লিস্ট স্কয়ার্স রিগ্রেশনে অবশিষ্টাংশগুলোকে বর্গ করা হয় কেন?

প্রতিটি উল্লম্ব ত্রুটি eᵢ = yᵢ − ŷᵢ কে বর্গ করা হলে রেখার উপরের ধনাত্মক ত্রুটিগুলো রেখার নিচের ঋণাত্মক ত্রুটিগুলোকে বাতিল করা থেকে রোধ করে, বড় মিসগুলোকে ভারীভাবে দণ্ডিত করে এবং একক অনন্য সর্বনিম্ন বিশিষ্ট একটি মসৃণ প্যারাবোলয়েড বাটি তৈরি করে।

ডানের 3D ত্রুটি বাটি কী উপস্থাপন করে?

বাটির দুটি অনুভূমিক অক্ষ হলো ট্রায়াল ঢাল m এবং ট্রায়াল ইন্টারসেপ্ট b, এবং উল্লম্ব উচ্চতা হলো বর্গাকার ত্রুটির যোগফল SSE(m, b)। প্রতিটি সম্ভাব্য সোজা রেখা ওই বাটির একটি পয়েন্টের সাথে মিলে যায়, এবং সেরা-ফিট রেখাটি সর্বনিম্ন বিন্দুতে বসে।

আউটলায়ার টেনে নিলে ফিট করা রেখাটি এত নাটকীয়ভাবে পরিবর্তিত হয় কেন?

যেহেতু ত্রুটিগুলো বর্গ করা হয়, তাই রেখা থেকে দ্বিগুণ দূরে থাকা একটি পয়েন্ট SSE তে চারগুণ বেশি অবদান রাখে। সেই বিশাল বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল বিস্ফোরিত হওয়া রোধ করতে রিগ্রেশন রেখাটি একটি আউটলায়ারের দিকে জোরালোভাবে ঝুঁকে যায়।

সহসম্বন্ধ r এবং সহগ R² এর মধ্যে পার্থক্য কী?

সহসম্বন্ধ r −1 থেকে +1 পর্যন্ত বিস্তৃত এবং রৈখিক সম্পর্কের দিক ও শক্তি পরিমাপ করে। R² (সাধারণ রৈখিক রিগ্রেশনে r এর বর্গ) 0% থেকে 100% পর্যন্ত বিস্তৃত এবং বলে y-তে প্রকরণের কত ভগ্নাংশ x দ্বারা ব্যাখ্যা করা হয়।

এই সিমুলেশন এমবেড করুন

আপনার এলএমএস, ব্লগ বা ক্লাসের সাইটে বসিয়ে দিন — বিনামূল্যে।

<iframe src="https://kiwibee.io/bn/simulations/least-squares-linear-regression-3d-3d-simulation/embed" title="রৈখিক রিগ্রেশন এবং ত্রুটি বাটি | KiwiBee" loading="lazy" allowfullscreen style="width:100%;height:min(70vh,620px);min-height:420px;border:0;border-radius:16px"></iframe>

অনুসন্ধান চালিয়ে যান

যেকোনো অপেক্ষক টাইপ করুন আর সঙ্গে সঙ্গে তার আকৃতি দেখুন। তুলনার জন্য তিন রঙে একসঙ্গে তিনটি পর্যন্ত আঁকুন, বক্ররেখা থেকে মান পড়তে অনুসরণ-বিন্দু টানুন, আর দেখুন কোনটি কোথায় শূন্য কাটে।

—

চাকা ঘোরান, মুদ্রা ছুড়ুন বা ছক্কা ফেলুন, আর দুই সারি দণ্ড দেখুন: আকৃতিগুলো যে সম্ভাব্যতা বলে, আর আপনি সত্যিই যা পেলেন। দশবার ঘোরালে কিছুই প্রমাণ হয় না; কয়েকশো বারের পর দুটোকে আলাদা করাই কঠিন হয়ে পড়ে।

—

m সরান আর সরলরেখাটিকে হেলতে দেখুন; b সরান আর সেটিকে উপর-নিচে সরতে দেখুন। কিংবা রেখার দুটি বিন্দু টানুন আর রেখাটি যে সমীকরণ ফিরিয়ে লেখে সেটি পড়ুন। 'উত্থান বনাম সরণ' সিঁড়িটি রেখা বেয়ে ওঠে, যাতে ঢাল এমন কিছু হয়ে ওঠে যা আপনি গুনে দেখতে পারেন।

—

দুই-বস্তু, তিন-বস্তু ও N-বস্তু মহাকর্ষ-এর প্রিভিউ

দুটি বস্তুর কক্ষপথের সঙ্গে তিনটি বস্তুর আট-আকৃতির গতির তুলনা করুন, তারপর বারোটি পর্যন্ত বস্তু যোগ করুন। প্রাথমিক ভর, বেগ ও অবস্থান বদলান; গতিপথ এবং সাংখ্যিক শক্তির ত্রুটি দেখুন।

—

বক্ররেখার নিচের ক্ষেত্রফল ফালি দিয়ে আসন্ন করুন আর ঠিক করুন প্রতিটি ফালি তার উচ্চতা কোথা থেকে নেবে: বাঁ প্রান্ত, ডান প্রান্ত, মধ্যবিন্দু, নাকি ঢালু চূড়া। ফালির সংখ্যা বাড়ান আর ত্রুটিকে নামতে দেখুন, আর চলমান যোগফল আঁকা হতে থাকে আলাদা এক বক্ররেখা হিসেবে।

—

মডেল থেকে প্রমাণে

শিক্ষার্থীরা অনুসন্ধান করার পর তাদের অনুমান, পর্যবেক্ষণ ও ব্যাখ্যা লিখে রাখতে ওয়ার্কশিট ব্যবহার করুন।