टेलर श्रेणी आसन्नन इंटरैक्टिव सिमुलेशन

टेलर बहुपद पूरी तरह इसी से बनता है कि फलन किसी एक बिंदु पर क्या कर रहा है: वहाँ उसका मान, वहाँ उसकी ढाल, वहाँ उसका वक्रण, और इसी तरह आगे। हर अवकलज एक और गुणांक तय करता है, और हर नया पद बहुपद को थोड़ा और आगे तक वक्र से चिपकने के लिए मोड़ देता है। इससे दो बातें निकलती हैं। आसन्नन केंद्र पर हमेशा सबसे अच्छा होता है और दूर जाते-जाते बिगड़ता जाता है, इसलिए काम का सवाल यह नहीं कि वह काम करता है या नहीं, बल्कि यह कि जिस क्षेत्र में वह काम करता है वह कितना चौड़ा है। और कुछ फलनों के लिए उस क्षेत्र की सीमा एकदम सख़्त होती है: ln(1 + x) x = −1 पर टूट जाता है और 1/(1 − x) x = 1 पर फट पड़ता है, इसलिए a पर केंद्रित श्रेणी केवल a से उतनी दूरी के भीतर ही अभिसरित होती है। त्रिज्या के भीतर अतिरिक्त पद घटते जाते हैं और बहुपद पास आता जाता है; उसके बाहर वे बढ़ने लगते हैं, और ऊँची घात उत्तर को बेहतर करने के बजाय बदतर कर देती है। विद्यार्थी घात और केंद्र बदल सकते हैं और तुलना कर सकते हैं कि क्या होता है। इसे हाई स्कूल के साथ गणित की खोजपरक गतिविधि में इस्तेमाल करें — प्रोजेक्टर पर या हर विद्यार्थी के डिवाइस पर।

मानक: Common Core CCSS.MATH.CONTENT.HSA.SSE.B.4, CCSS.MATH.CONTENT.HSF.BF.A.1

• घात 0 से शुरू कीजिए और एक-एक पद जोड़िए, देखते हुए कि हर बार मेल कितनी दूर तक पहुँचता है
• 1/(1 − x) पर जाइए और वह बिंदु खोजिए जहाँ और पद जोड़ना मदद करना बंद कर देता है, फिर उसकी तुलना त्रिज्या के पाठ्यांक से कीजिए
• ln(1 + x) पर केंद्र को x = −1 की ओर खींचिए और त्रिज्या तथा छायांकित पट्टी को उसके साथ सिकुड़ते देखिए
• पहले चौड़ी सह्यता रखिए, फिर सँकरी, और देखिए कि उस पट्टी का कितना हिस्सा दरअसल आपकी कड़ाई पर ही टिका था
• घात 12 पर sin x और 1/(1 − x) की तुलना कीजिए: एक पूरे परदे पर सही है, दूसरा केवल बीच के पास

1. 1अनुमान लगाना कि घात बदलने से बहुपद का मान पर क्या असर पड़ेगा, फिर उस अनुमान को जाँचना।
2. 2परिणाम की व्याख्या के लिए लाइव गणना और दृश्य चित्रण से मिले प्रमाण का उपयोग करना।

शिक्षकों के आम सवाल