फूरिये श्रेणी इंटरैक्टिव सिमुलेशन

कोई भी दोहराने वाली तरंग, चाहे उसके कोने कितने ही तीखे हों, सादी ज्या-तरंगों के योग के रूप में लिखी जा सकती है, जिनकी आवृत्तियाँ उस तरंग की अपनी आवृत्ति के पूर्ण गुणज होती हैं। कौन-सी ज्या-तरंगें और कितनी तेज़, यह आकार तय करता है: वर्ग तरंग को केवल विषम संनादियों की ज़रूरत होती है जिनके आयाम 1/k के अनुसार घटते हैं, आरा-तरंग को सभी चाहिए और हर बार चिह्न पलटता है, और त्रिकोण तरंग को विषम संनादी चाहिए जो कहीं तेज़ी से, 1/k² के अनुसार घटते हैं। पद जोड़ने से औसत त्रुटि हमेशा घटती है, और हर संनादी ठीक अपने हिस्से की त्रुटि हटा देता है। पर उछाल पर यह योग कभी शांत नहीं होता: असांतत्य के बगल की लहर पद जोड़ने पर सँकरी तो होती जाती है, पर तरंग से लगभग 17.9% ऊँची बनी रहती है — यानी पूरे उछाल का 8.95%। यही गिब्स परिघटना है, और यह श्रेणी का गुण है, चित्र का नहीं। विद्यार्थी संनादी और लक्ष्य तरंग बदल सकते हैं और तुलना कर सकते हैं कि क्या होता है। इसे हाई स्कूल के साथ गणित की खोजपरक गतिविधि में इस्तेमाल करें — प्रोजेक्टर पर या हर विद्यार्थी के डिवाइस पर।

मानक: Common Core CCSS.MATH.CONTENT.HSF.TF.B.5, CCSS.MATH.CONTENT.HSF.BF.A.1.B

• वर्ग तरंग में एक-एक करके संनादी जोड़िए और देखिए कि हर नई ज्या-तरंग शीर्ष को थोड़ा और चपटा कर देती है
• संनादियों की संख्या तीस तक बढ़ाइए और जाँचिए कि कोने की चोटी ज़रा भी छोटी हुई या नहीं
• त्रिकोण तरंग पर जाइए और अतिक्रमण को ग़ायब होते देखिए, क्योंकि कोना उछाल नहीं होता
• समान संनादी-संख्या पर त्रिकोण और वर्ग तरंग की RMS त्रुटि की तुलना कीजिए, और अंतर को 1/k² बनाम 1/k से जोड़िए
• वृत्तों की शृंखला देखिए और जाँचिए कि आख़िरी वृत्त की ऊँचाई हमेशा तरंग का मान ही होती है

1. 1अनुमान लगाना कि संनादी बदलने से सबसे ऊँचा संनादी पर क्या असर पड़ेगा, फिर उस अनुमान को जाँचना।
2. 2परिणाम की व्याख्या के लिए लाइव गणना और दृश्य चित्रण से मिले प्रमाण का उपयोग करना।

शिक्षकों के आम सवाल