Mô phỏng tương tác Xấp xỉ bằng chuỗi Tay-lo

Đa thức Tay-lo được dựng hoàn toàn từ những gì hàm số đang làm tại một điểm duy nhất: giá trị ở đó, độ dốc ở đó, độ cong ở đó, và cứ thế. Mỗi đạo hàm ấn định thêm một hệ số, và mỗi số hạng mới lại uốn đa thức bám theo đường cong xa thêm một chút. Từ đó suy ra hai điều. Phép xấp xỉ luôn tốt nhất ở tâm và tệ dần khi bạn đi ra xa, nên câu hỏi hữu ích không phải là nó có hiệu quả không, mà là vùng nó hiệu quả rộng đến đâu. Và với vài hàm số thì vùng ấy có một mép cứng: ln(1 + x) gãy ở x = −1 còn 1/(1 − x) bùng lên ở x = 1, nên chuỗi lấy tâm tại a chỉ hội tụ trong khoảng cách ấy quanh a. Bên trong bán kính, các số hạng thêm vào nhỏ dần và đa thức khép lại gần đường cong; bên ngoài, chúng lớn lên, và bậc cao hơn làm kết quả tệ hơn chứ không tốt hơn. Học sinh có thể thay đổi bậc và tâm khai triển rồi so sánh điều gì xảy ra. Hãy dùng cho hoạt động khám phá toán học với Trung học phổ thông, trên máy chiếu hoặc thiết bị của từng học sinh.

Chuẩn kiến thức: Common Core CCSS.MATH.CONTENT.HSA.SSE.B.4, CCSS.MATH.CONTENT.HSF.BF.A.1

• Bắt đầu từ bậc 0 rồi thêm từng số hạng một, quan sát mỗi lần khớp được xa thêm bao nhiêu
• Chuyển sang 1/(1 − x) rồi tìm điểm mà thêm số hạng không còn giúp gì, sau đó so với số đọc bán kính
• Kéo tâm về phía x = −1 trên ln(1 + x) rồi xem bán kính, cùng dải tô bóng, thu hẹp theo
• Đặt sai số cho phép rộng, rồi hẹp, và xem phần nào của dải thật ra chỉ do bạn khắt khe đến đâu
• So sánh sin x với 1/(1 − x) ở bậc 12: một bên đúng trên cả màn hình, bên kia chỉ đúng gần giữa

1. 1Dự đoán việc thay đổi bậc sẽ ảnh hưởng thế nào đến giá trị của đa thức, rồi kiểm chứng dự đoán đó.
2. 2Dùng bằng chứng từ phép tính trực tiếp và hình ảnh minh họa để giải thích kết quả.

Câu hỏi giáo viên thường đặt ra