Simulação interativa de Aproximação por séries de Taylor

Um polinômio de Taylor é construído inteiramente a partir do que a função faz em um único ponto: o valor ali, a inclinação ali, a curvatura ali, e assim por diante. Cada derivada fixa mais um coeficiente, e cada termo novo curva o polinômio para acompanhar a curva um pouco mais longe. Daí seguem duas coisas. A aproximação é sempre melhor no centro e piora à medida que você se afasta, então a pergunta útil não é se ela funciona, e sim qual é a largura da região em que funciona. E para algumas funções essa região tem uma borda dura: ln(1 + x) quebra em x = −1 e 1/(1 − x) explode em x = 1, então uma série centrada em a converge apenas dentro dessa distância de a. Dentro do raio, os termos extras encolhem e o polinômio se aproxima; fora dele, crescem, e um grau maior piora a resposta em vez de melhorá-la. Os alunos podem alterar o grau e o centro e comparar o que acontece. Use na investigação em matemática com Ensino médio, no projetor ou no dispositivo de cada aluno.

Habilidades: Common Core CCSS.MATH.CONTENT.HSA.SSE.B.4, CCSS.MATH.CONTENT.HSF.BF.A.1

• Comece no grau 0 e acrescente um termo por vez, observando o quanto o encaixe avança a cada passo
• Troque para 1/(1 − x) e ache o ponto em que mais termos deixam de ajudar, depois compare com a leitura do raio
• Arraste o centro em direção a x = −1 em ln(1 + x) e veja o raio, e a faixa sombreada, encolherem junto
• Escolha uma tolerância larga e depois uma estreita, e veja o quanto da faixa dependia mesmo do seu nível de exigência
• Compare sin x e 1/(1 − x) no grau 12: um acerta a tela inteira, o outro só perto do meio

1. 1Prever como alterar o grau afetará o valor do polinômio e, em seguida, testar a previsão.
2. 2Usar as evidências de cálculo ao vivo e representação visual para explicar o resultado.

Perguntas frequentes dos professores