محاكاة تفاعلية: حقول الميل وطريقة أويلر

المعادلة التفاضلية لا تسلّمك منحنى؛ بل تسلّمك قاعدةً تحدّد كم يجب أن يكون المنحنى منحدرًا عند كل نقطة. وإذا رُسمت شبكةً من الشُّرَط المماسّة القصيرة صارت تلك القاعدة تضاريس تقرؤها، وصار الحلّ ببساطة منحنى يتّفق مع كل شرطة يمرّ بها. وتمشي طريقة أويلر في تلك التضاريس بأوضح صورة ممكنة: اقرأ الميل حيث تقف، وامشِ مستقيمًا خطوة واحدة، ثم اقرأ من جديد. ولأن الخطوة المستقيمة تقع دائمًا خارج الانحناء، يكون الخطأ منهجيًّا لا عشوائيًّا — وهو يتقلّص بالتناسب المباشر مع الخطوة، وهذا معنى «الرتبة الأولى». وإذا بالغت في تكبير الخطوة على المعادلة اللوجستية صعد أويلر عبر سقف تمنعه المعادلة نفسها، وهذا يبيّن أن طريقة عددية قد تخترع سلوكًا لم يكن للنموذج قطّ. يمكن للطلاب تغيير حجم الخطوة وارتفاع البداية ومقارنة ما يحدث. استخدمها في الاستقصاء ضمن الرياضيات مع المرحلة الثانوية، على جهاز العرض أو على جهاز كل طالب.

المعايير: Common Core CCSS.MATH.CONTENT.HSF.BF.A.1.A, CCSS.MATH.CONTENT.HSF.BF.A.2

• اسحب نقطة البداية عبر الحقل وشاهد المعادلة نفسها تنتج عائلة كاملة من المنحنيات
• اقسم الخطوة إلى النصف وتحقّق من أن الفجوة عند النهاية تنقسم إلى النصف معها
• اضبط الخطوة على أكبر قيمة وانظر أين تقطع زوايا أويلر عبر الانحناءات
• انتقل إلى y(1 − y): بعد خطوة مقدارها 1 يصعد أويلر عبر السقف عند y = 1، وبعد 2 لا يستقرّ أبدًا
• اكتب dy/dx الخاصّة بك وجِد نقطة بداية يكاد أويلر والمنحنى الحقيقي لا يفترقان عندها

1. 1توقّع أثر تغيير حجم الخطوة على جواب أويلر، ثم اختبار هذا التوقع.
2. 2استخدام الأدلة من الحساب المباشر والتمثيل المرئي لتفسير النتيجة.

أسئلة يطرحها المعلمون